Кіріспе
Алгебралық кеңістікте анықталған алгебралық сан
Алгебралық геометрияда, аффиндік алгебралық жиын – алгебралық жабық k өрісінде полиномдар сақинасындағы полиномдардың белгілі бір жиынының ортақ нөлдерінің жиыны. Аффиндік сан немесе аффиндік алгебралық сан – анықтайтын полиномдардың тудыратын идеалы жай болатын алгебралық жиын. Кейбір мәтіндер кез келген алгебралық жиын үшін "сан" терминін қолданады, ал толық емес сан – анықтайтын идеалы жай болатын алгебралық жиын (жоғарыда аталған мағынада аффиндік сан). Кейбір жағдайларда (мысалы, Гильберттің Нөлдік теоремасын қараңыз), коэффициенттері қарастырылатын k өрісін, ортақ нөлдер қарастырылатын K алгебралық жабық өрісінен (кұрамында k бар) ажырату пайдалы (яғни, аффиндік алгебралық жиынның нүктелері K^(n) ішінде болады). Бұл жағдайда, сан k-ге қатысты анықталған деп айтылады, ал санның k^(n) ішіндегі нүктелері k-ұтымды немесе k-ге қатысты ұтымды деп айтылады. k – нақты сандар өрісі болатын жағдайда, k-ұтымды нүкте нақты нүкте деп аталады. k өрісі көрсетілмеген жағдайда, ұтымды нүкте – рационалды сандарға қатысты ұтымды нүкте болып табылады. Мысалы, Ферманың соңғы теоремасы, анықталған аффиндік алгебралық санның (ол қисық) екіден үлкен n бүтін саны үшін ұтымды нүктелері жоқ деп мәлімдейді.
Кіріспе
Аффиналды алгебралық жиын – k коэффициенттері бар полиномдық теңдеулер жүйесінің алгебралық жабық k өрісіндегі шешімдер жиыны. Нақтырақ айтқанда, егер k коэффициенттері бар полиномдар болса, олар аффиналды алгебралық жиынды анықтайды. Аффиналды (алгебралық) сан – екі дұрыс аффиналды алгебралық ішкі жиынның бірігісі емес аффиналды алгебралық жиын. Мұндай аффиналды алгебралық жиын көбінесе ирредуктивті деп аталады. Егер X – аффиналды алгебралық жиын болса, ал I – X-те нөлге тең болатын барлық полиномдардың идеалы болса, онда бөлу сақинасы X-тің координаталық сақинасы деп аталады. Егер X – аффиналды сан болса, онда I – жай сан, сондықтан координаталық сақина – интегралды домен. Координаталық сақина R-дің элементтері де реттелген функциялар немесе санның полиномдық функциялары деп аталады. Олар санның реттелген функциялар сақинасын немесе жай ғана санның сақинасын құрайды; басқаша айтқанда (қараңыз #Structure sheaf), бұл X құрылымдық шоғының жаһандық қималарының кеңістігі. Санның өлшемі – әр санға, тіпті әр алгебралық жиынға байланысты бүтін сан, оның маңыздылығы оның көптеген эквивалентті анықтамаларына байланысты (алгебралық санның өлшемін қараңыз).
An affine (algebraic) variety is an affine algebraic set that is not the union of two proper affine algebraic subsets. Such an affine algebraic set is often said to be irreducible. If X is an affine algebraic set, and I is the ideal of all polynomials that are zero on X, then the quotient ring is called the of X. If X is an affine variety, then I is prime, so the coordinate ring is an integral domain. The elements of the coordinate ring R are also called the regular functions or the polynomial functions on the variety. They form the ring of regular functions on the variety, or, simply, the ring of the variety; in other words (see #Structure sheaf), it is the space of global sections of the structure sheaf of X. The dimension of a variety is an integer associated to every variety, and even to every algebraic set, whose importance relies on the large number of its equivalent definitions (see Dimension of an algebraic variety).
Мысалдар
Гипербеттің аффиндік алгебралық сорт X-тегі толықтығы (яғни, кейбір полином f үшін 1=X \ { f = 0 }) аффиндік болады. Оның анықтамалық теңдеулері f арқылы X-тің анықтамалық идеалын қанықтыру арқылы алынады. Координаттық сақина – локализация болып табылады. Атап айтқанда, (нөлдік нүктесі алынып тасталған аффиндік түзу) аффиндік. Екінші жағынан, (нөлдік нүктесі алынып тасталған аффиндік жазықтық) аффиндік сорт емес; Хартогтың кеңейту теоремасына қараңыз. Аффиндік кеңістіктегі кодименсиясы бірге тең субсорттар – дәл гипербеттер, яғни бір полиноммен анықталатын сорттар. Ирредукцияланбаған аффиндік сорттың нормализациясы аффиндік болады; нормализацияның координаталық сақинасы – сорттың координаталық сақинасының интегралды жабылуы. (Сонымен қатар, проективтік сорттың нормализациясы проективтік сорт болады.)
In particular, (the affine line with the origin removed) is affine. On the other hand, (the affine plane with the origin removed) is not an affine variety; cf. Hartogs' extension theorem. The subvarieties of codimension one in the affine space are exactly the hypersurfaces, that is the varieties defined by a single polynomial. The normalization of an irreducible affine variety is affine; the coordinate ring of the normalization is the integral closure of the coordinate ring of the variety. (Similarly, the normalization of a projective variety is a projective variety.)
Рационалды нүктелер
К-тің алгебралық жабық өрісі K және К-нің k қосалқы өрісі бойынша аффиндік түрлік үшін V-дің k рационалды нүктесі — нүкте болып табылады. Яғни, координаттары k элементтері болып табылатын V нүктесі. Түрліктің k рационалды нүктелерінің жиынтығы көбінесе V(k) деп белгіленеді. Көбінесе, егер базалық өріс кешенді сандар 'C' болса, 'R' рационалды (ондағы 'R' — нақты сандар) нүктелер түрліктің нақты нүктелері деп аталады, ал 'Q' рационалды (ондағы 'Q' — рационалды сандар) нүктелер көбінесе жай ғана рационалды нүктелер деп аталады. Мысалы, (1, 0) — бұл 'Q' рационалды және 'R' рационалды нүкте, өйткені ол V-де және оның барлық координаттары бүтін сандар. нүктесі — V-нің 'Q' рационалды емес нақты нүктесі, ал — V-нің 'R' рационалды емес нүктесі. Бұл түрлік шеңбер деп аталады, себебі оның 'R' рационалды нүктелерінің жиынтығы бірлік шеңбер болып табылады. Оның шексіз көп 'Q' рационалды нүктелері бар, олар t рационалды сан болатын нүктелер. Шеңбер — 'Q' рационалды нүктесі жоқ екінші дәрежелі алгебралық қисықтың мысалы. Мұны 4-ке модуль бойынша екі квадраттың қосындысы 3-ке тең бола алмайтынынан шығаруға болады. 'Q' рационалды нүктесі бар екінші дәрежелі алгебралық қисықтың шексіз көп басқа 'Q' рационалды нүктелері бар екендігін дәлелдеуге болады; әрбір мұндай нүкте — қисық пен рационалды нүктеден өтетін рационалды бұрышқа ие түзудің екінші қиылысу нүктесі. Күрделі түрліктің 'R' рационалды нүктелері жоқ, бірақ көптеген күрделі нүктелері бар. Егер V — 'C'^(2) -дегі аффиндік түрлік болса және кешенді сандар 'C' бойынша анықталған болса, V-нің 'R' рационалды нүктелерін қағазға немесе графикалық бағдарламалық жасақтама арқылы салуға болады. Оң жақтағы суретте 'R' рационалды нүктелері көрсетілген.
where t is a rational number. The circle is an example of an algebraic curve of degree two that has no 'Q' rational point. This can be deduced from the fact that, modulo 4, the sum of two squares cannot be 3. It can be proved that an algebraic curve of degree two with a 'Q' rational point has infinitely many other 'Q' rational points; each such point is the second intersection point of the curve and a line with a rational slope passing through the rational point. The complex variety has no 'R' rational points, but has many complex points. If V is an affine variety in 'C'^(2) defined over the complex numbers 'C', the 'R' rational points of V can be drawn on a piece of paper or by graphing software. The figure on the right shows the 'R' rational points of
Зариски топологиясы
Кн-нің аффиндік алгебралық жиындары Кн-дегі топологияның жабық жиындарын құрайды, бұл топология Зариски топологиясы деп аталады. Бұл факті және (әсіресе, аффиндік алгебралық жиындардың саналатын кесісімі – аффиндік алгебралық жиын) арқасында туындайды. Зариски топологиясын негізгі ашық жиындар арқылы да сипаттауға болады, мұнда Зариски ашық жиындары – формасындағы жиындардың саналатын біріктірілісі болып табылады. Бұл негізгі ашық жиындар – Кн кеңістігіндегі бір полиномның нөлдері жиындарының толықтырулары. Егер k Нотерлік болса (мысалы, k өріс немесе негізгі идеалдық домен болса), онда k-ның кез келген идеалы шекті түрде туындайды, сондықтан кез келген ашық жиын – негізгі ашық жиындардың шекті біріктірілісі болады. Егер V – Кн-нің аффиндік субварианты болса, онда V-дегі Зариски топологиясы – Кн-дегі Зариски топологиясынан мұраға алған жай ғана субкеңістік топологиясы.
Туған тұқымдардың өнімдері
Аффиналық сорттардың көбейтіндісі изоморфизмді пайдаланып, содан кейін осы көбейтіндіні жаңа аффиналық кеңістікке енгізу арқылы анықталады. 'A'^(n) және 'A'^(m) сәйкесінше k[x1, ..., xn] және k[y1, ..., ym] координаттық сақиналарына ие болсын, сондықтан олардың көбейтіндісі 'A'^(n+m) k[x1, ..., xn, y1, ..., ym] координаттық сақинасына ие болады. V – 'A'^(n) алгебралық жиыны, ал W – 'A'^(m) алгебралық жиыны болсын. Онда әр fi – k[x1, ..., xn] полиномы, ал әр gj – k[y1, ..., ym] полиномы болады. V және W көбейтіндісі 'A'^(n+m)-дегі алгебралық жиын ретінде анықталады: { (x, y) | fi(x) = 0 және gj(y) = 0 }. Көбейтінді өзіндік болмайтын болса, V және W әрқайсысы өзіндік болады. 'A'^(n) × 'A'^(m) кеңістігіндегі Зариски топологиясы екі кеңістіктегі Зариски топологияларының топологиялық көбейтіндісі емес. Шындығында, көбейтінді топологиясы негізгі ашық жиындардың көбейтіндісімен жаратылады. Сондықтан, k[x1, ..., xn, y1, ..., ym] полиномдарының ішінде, k[x1, ..., xn] полиномы мен k[y1, ..., ym] полиномының көбейтіндісі түрінде алынбайтын полиномдар 'A'^(n) × 'A'^(m) кеңістігіндегі Зариски топологиясындағы алгебралық жиындарды анықтайды, бірақ көбейтінді топологиясында емес.
Афиналық сорттардың морфизмдері
Морфизм немесе аффиналы сорттардың реттелі картасы – аффиналы сорттар арасындағы әр координата бойынша полиномдық болатын функция: дәлірек айтқанда, егер аффиналы сорттар V ⊆ k^(n) және W ⊆ k^(m) болса, V-ден W-ге дейінгі морфизм – бұл φ : V → W түріндегі карта, мұнда fi ∈ k[X1, ..., Xn] әрқайсысы үшін. Бұл аффиналы сорттар санатындағы морфизмдер. Алгебралық жабық k өрісіндегі аффиналы сорттардың морфизмдері мен кері бағыттағы k үстіндегі аффиналы сорттардың координаттық сақиналарының гомоморфизмдері арасында біржақты сәйкестік бар. Осыған байланысты, k-дағы аффиналы сорттар мен олардың координаттық сақиналары арасында біржақты сәйкестік бар екендігінен, k-дағы аффиналы сорттар санаты k-дағы аффиналы сорттардың координаттық сақиналары санатына дуальды болады. k-дағы аффиналы сорттардың координаттық сақиналары санаты – k үстіндегі шекті туындыланған, нильпотентті бос алгебралар санаты. Дәлірек айтқанда, әрбір φ : V → W аффиналы сорттар морфизмі үшін, координаттық сақиналар арасында φ^(#) : k[W] → k[V] гомоморфизмі болады (кері бағытта), және әрбір мұндай гомоморфизм үшін координаттық сақиналарға байланысты сорттардың морфизмі болады. Бұны нақты көрсетуге болады: V ⊆ k^(n) және W ⊆ k^(m) аффиналы сорттар болсын, олардың координаттық сақиналары тиісінше және . φ : V → W морфизм болсын. Шындығында, көпмүшелік сақиналар θ : k[Y1, ..., Ym] / J → k[X1, ..., Xn] / I арасындағы гомоморфизм k[X1, ..., Xn] сақинасы арқылы бірегей түрде факторланады, ал гомоморфизм ψ : k[Y1, ..., Ym] / J → k[X1, ..., Xn] Y1, ..., Ym кескіндері арқылы бірегей түрде анықталады. Сондықтан, әрбір φ^(#) : k[W] → k[V] гомоморфизмі әрбір Yi үшін кескіннің таңдауына бірегей түрде сәйкес келеді. Содан кейін V-ден W-ге кез келген морфизмді ескере отырып, φ^(#) : k[W] → k[V] гомоморфизмін құруға болады, ол Yi-ді k[V] -дегі fi-дің эквиваленттілік класына жібереді. Сол сияқты, координаттық сақиналардың әрбір гомоморфизмі үшін кері бағытта аффиналы сорттардың морфизмін құруға болады. Жоғарыдағы абзацты айналдыра отырып, φ^(#) : k[W] → k[V] гомоморфизмі Yi-ді k[V] -дегі полиномға жібереді. Бұл φ : V → W сорттардың морфизміне сәйкес келеді, ол деп анықталады.
More precisely, for each morphism φ : V → W of affine varieties, there is a homomorphism φ^(#) : k[W] → k[V] between the coordinate rings (going in the opposite direction), and for each such homomorphism, there is a morphism of the varieties associated to the coordinate rings. This can be shown explicitly: let V ⊆ k^(n) and W ⊆ k^(m) be affine varieties with coordinate rings and respectively. Let φ : V → W be a morphism. Indeed, a homomorphism between polynomial rings θ : k[Y1, , Ym] / J → k[X1, , Xn] / I factors uniquely through the ring k[X1, , Xn], and a homomorphism ψ : k[Y1, , Ym] / J → k[X1, , Xn] is determined uniquely by the images of Y1, , Ym. Hence, each homomorphism φ^(#) : k[W] → k[V] corresponds uniquely to a choice of image for each Yi. Then given any morphism from V to W, a homomorphism can be constructed φ^(#) : k[W] → k[V] that sends Yi to where is the equivalence class of fi in k[V]. Similarly, for each homomorphism of the coordinate rings, a morphism of the affine varieties can be constructed in the opposite direction. Mirroring the paragraph above, a homomorphism φ^(#) : k[W] → k[V] sends Yi to a polynomial in k[V]. This corresponds to the morphism of varieties φ : V → W defined by
Серрдің туыстық туралы теоремасы
Серр теоремасы аффиндік алгебралық түрдің кохомологиялық сипаттамасын береді; ол алгебралық түрдің аффиндік екенін айтады, егер және тек егер кез келген және X-тегі кез келген квази-когерентті F шоғы үшін . (Қараңыз, Картан теоремасы B.) Бұл аффиндік алгебралық түрді кохомологиялық тұрғыдан зерттеуді мүмкінсіз етеді, проективтік жағдаймен күрт контрастқа түседі, онда түзу шоғырлардың кохомологиялық топтары аса маңызды.
Жалпылау
Егер автор аффиндік сорттың базалық өрісі алгебралық жабық болуын қажет етсе (осы мақаладағыдай), онда алгебралық жабық емес өрістердегі ирредуктивті аффиндік алгебралық жиындар аффиндік сорттардың жалпыламасы болып табылады. Бұл жалпыламаға, әсіресе, нақты сандар өрісіндегі аффиндік сорттар да кіреді. Аффиндік сорт алгебралық сорттар үшін жергілікті координаттық жүйенің рөлін атқарады; яғни, проективтік сорттар сияқты жалпы алгебралық сорттар аффиндік сорттарды біріктіру арқылы алынады. Сорттарға байланысты сызықтық құрылымдар да (тривиальды түрде) аффиндік сорттар болып табылады; мысалы, жанама кеңістіктер, алгебралық векторлық шоғырлардың талшықтары. Аффиндік сорт – аффиндік схеманың ерекше жағдайы, ол коммутативті сақина спектріне изоморфты (категориялардың эквиваленттілігіне дейін) жергілікті сақиналық кеңістік. Әрбір аффиндік сортқа сәйкес аффиндік схема бар: егер V(I) координаталық сақинасы R болса, kⁿ-дегі аффиндік сорт болса, онда V(I)-ге сәйкес келетін схема – R-дің жайқы идеалдарының жиынтығы Spec(R) болады. Аффиндік схемада "классикалық нүктелер" бар, олар сорттың нүктелеріне сәйкес келеді (соның салдарынан сорттың координаталық сақинасының максималды идеалдары), сондай-ақ сорттың әрбір жабық ішкі сорты үшін нүкте (бұл нүктелер координаталық сақинаның жайқы, бірақ максималды емес идеалдарына сәйкес келеді). Бұл, әрбір жабық ішкі сортқа сол ішкі сортта тығыз болатын ашық нүкте тағайындау арқылы аффиндік сорттың "жалпы нүктесі" туралы анығырақ түсінік қалыптастырады. Көбірек айтқанда, аффиндік схема, егер ол алгебралық жабық өріс k бойынша редукцияланған, ирредуктивті және шекті типті болса, аффиндік сорт болып табылады.