Кіріспе
Алгебралық геометрия саласында зерттелетін математикалық объектілер алгебралық сорттар. Алгебралық сорттар – математиканың алгебралық геометрия деген кіші саласында зерттелетін орталық объектілер. Классикалық түрде алгебралық сорт нақты немесе кешенді сандардағы полиномдық теңдеулер жүйесінің шешімдері жиынтығы ретінде анықталады. Қазіргі заманғы анықтамалар бұл ұғымды бірнеше түрлі жолмен жалпылайды, сонымен бірге бастапқы анықтаманың артындағы геометриялық түсінікті сақтауға тырысады. Алгебралық сорттардың анықтамасы туралы конвенциялар аздап өзгеше. Мысалы, кейбір анықтамалар алгебралық сорттың ирредуктивті болуын талап етеді, яғни ол Зариски топологиясында жабық екі кішірек жиынның бірігуі болмауы керек. Бұл анықтама бойынша, ирредуктивті емес алгебралық сорттар алгебралық жиынтықтар деп аталады. Басқа конвенциялар ирредуктивтілікті талап етпейді. Алгебраның негізгі теоремасы алгебра мен геометрия арасындағы байланысты көрсетеді, күрделі сан коэффициенттері бар бір айнымалыдағы мономдық полином (алгебралық объект) күрделі жазықтықтағы оның түбірлерінің (геометриялық объект) жиынтығымен анықталады. Бұл нәтижені жалпылағанда, Гильберттің Nullstellensatz полиномдық сақиналардың идеалдары мен алгебралық жиынтықтар арасындағы негізгі сәйкестікті қамтамасыз етеді. Nullstellensatz және оған байланысты нәтижелерді пайдаланып, математиктер алгебралық жиынтықтар мен сақиналар теориясының сұрақтары арасында берік сәйкестікті орнатты. Бұл сәйкестік алгебралық геометрияның ерекшелігі болып табылады. Көптеген алгебралық сорттар дифференциалданатын көптүрліліктер болып табылады, бірақ алгебралық сорттың дара нүктелері болуы мүмкін, ал дифференциалданатын көптүрліліктерде мұндай нүктелер болмайды. Алгебралық сорттар олардың өлшемдерімен сипатталады. Бірінші өлшемдегі алгебралық сорттар алгебралық қисықтар деп аталады, ал екінші өлшемдегі алгебралық сорттар алгебралық беттер деп аталады. Қазіргі заманғы схемалар теориясы тұрғысынан алгебралық сорт – бұл сол өріс үстіндегі интегралды (ирредуктивті және азайтылған) схема, оның құрылымдық морфизмі бөлшектенген және шекті типтегі болады.
algebraic varieties
Algebraic varieties are the central objects of study in algebraic geometry, a sub field of mathematics. Classically, an algebraic variety is defined as the set of solutions of a system of polynomial equations over the real or complex numbers. Modern definitions generalize this concept in several different ways, while attempting to preserve the geometric intuition behind the original definition. Conventions regarding the definition of an algebraic variety differ slightly. For example, some definitions require an algebraic variety to be irreducible, which means that it is not the union of two smaller sets that are closed in the Zariski topology. Under this definition, non irreducible algebraic varieties are called algebraic sets. Other conventions do not require irreducibility. The fundamental theorem of algebra establishes a link between algebra and geometry by showing that a monic polynomial (an algebraic object) in one variable with complex number coefficients is determined by the set of its roots (a geometric object) in the complex plane. Generalizing this result, Hilbert's Nullstellensatz provides a fundamental correspondence between ideals of polynomial rings and algebraic sets. Using the Nullstellensatz and related results, mathematicians have established a strong correspondence between questions on algebraic sets and questions of ring theory. This correspondence is a defining feature of algebraic geometry. Many algebraic varieties are differentiable manifolds, but an algebraic variety may have singular points while a differentiable manifold cannot. Algebraic varieties can be characterized by their dimension. Algebraic varieties of dimension one are called algebraic curves and algebraic varieties of dimension two are called algebraic surfaces. In the context of modern scheme theory, an algebraic variety over a field is an integral (irreducible and reduced) scheme over that field whose structure morphism is separated and of finite type.
Жалпы түсінік және анықтамалар
Алгебралық жабық өрістегі аффиндік түрлік – тұжырымдамалық тұрғыдан анықтауға ең оңай түрлік, және оның анықтамасы осы бөлімде беріледі. Содан кейін проективтік және квазипроективтік түрліктерді де ұқсас жолмен анықтауға болады. Түрліктің ең жалпы анықтамасы – кішігірім квазипроективтік түрліктерді біріктіру арқылы алынады. Мұндай тәсілмен жаңа түрліктерді жасау мүмкін емес сияқты көрінеді, бірақ Нагата 1950 жылдары осындай жаңа түрлікке мысал келтірді.
Жобалы сорттар және жартылай жобалы сорттар
k алгебралық жабық өріс болсын және 'P'^(n) k үстіндегі проективті n кеңістік болсын. f ∈ k[x₀, ..., xₙ] d дәрежелі гомогенді полиномиал болсын. 'P'^(n) проективті кеңістігіндегі гомогенді координаттардағы нүктелерде f-тің мәнін есептеу дұрыс анықталмайды. Дегенмен, f гомогенді болғандықтан, яғни, f [x₀ : ... : xₙ] нүктесінде нөлге тең бола ма деп сұрауға болады. Кез келген S гомогенді полиномиалдар жиыны үшін, S-тің нөлдік орны – S жиынындағы функциялардың нөлге тең болатын 'P'^(n) кеңістігіндегі нүктелер жиыны деп анықталады:
'P'^(n) кеңістігінің V кіші жиыны, егер V = Z(S) белгілі бір S үшін орындалса, проективті алгебралық жиынтық деп аталады. Ирредуктивті проективті алгебралық жиынтық проективті сорт деп аталады. Проективті сорттар барлық алгебралық жиынтықтарды жабық деп жариялау арқылы Зариски топологиясымен жабдықталады. V "P"^(n) кеңістігінің кіші жиыны болсын, онда I(V) – V-де нөлге тең болатын барлық гомогенді полиномиалдар арқылы туындаған идеал. Кез келген проективті алгебралық V жиыны үшін, V-нің координаттық сақинасы – бұл идеалға қатысты полиномиал сақинасының бөлігі болып табылады. Квазипроективті сорт – проективті сорттың Зариски ашық кіші жиыны. Әрбір аффиндік сорт квазипроективті екенін ескеріңіз. Сондай-ақ, аффиндік сорттағы алгебралық жиынның толықтығы квазипроективті сорт болып табылады; аффиндік сорттар контекстінде мұндай квазипроективті сортты әдетте сорт деп атамайды, бірақ құрастырылатын жиын деп атайды.
Абстрактілі сорттар
Классикалық алгебралық геометрияда барлық сорттар, анықтама бойынша, квазипроективті сорттар болатын, яғни олар проективті кеңістіктің жабық субсорттарының ашық субсорттары еді. Мысалы, Хартшорнның 1-тарауында алгебралық жабық өрістегі сорт квазипроективті сорт деп анықталады, бірақ 2-тараудан бастап "сорт" термині (сондай-ақ абстракт сорт деп аталады) жалпы нысанды білдіреді, ол жергілікті түрде квазипроективті сорт болып табылады, бірақ толығымен қарастырылғанда міндетті түрде квазипроективті болып көрінбейді; яғни, ол проективті кеңістікке енуге ие болмауы мүмкін. Классикалық тұрғыда алгебралық сорттың анықтамасы проективті кеңістікке енуді талап ететін, және осы ену сорттағы топологияны және сорттағы реттелген функцияларды анықтау үшін қолданылатын. Мұндай анықтаманың кемшілігі – барлық сорттар проективті кеңістікке табиғи енумен келмейді. Мысалы, осы анықтама бойынша, "P"^(1) × "P"^(1) көбейтіндісі үлкен проективті кеңістікке енгізілгенге дейін сорт болып табылмайды; бұл әдетте Сегре енуі арқылы жасалады. Сонымен қатар, проективті кеңістікке бір енуді қабылдайтын кез келген сорт көптеген басқа енулерге ие, мысалы, енуді Веронезе енуімен құрастыру арқылы; сондықтан реттелген функция сияқты ішкі болуы керек көптеген ұғымдар, олай емес сияқты көрінеді. Алгебралық сортты абстрактты түрде, енусіз анықтауға жасалған ең алғашқы сәттік әрекетті Андре Вейль жасады. Ол "Алгебралық геометрияның негіздері" еңбегінде бағалауларды қолданды. Клод Шевалье схеманың анықтамасын берді, ол ұқсас мақсатқа қызмет етті, бірақ жалпылама болды. Алайда, Александр Гротендиктің схема туралы анықтамасы одан да жалпылама және ең көп қабылданды. Гротендиктің тілінде абстракт алгебралық сорт әдетте алгебралық жабық өріс үстінде шекті типтегі интегралды, бөлінген схема деп анықталады, дегенмен кейбір авторлар азайғышсыздық немесе азайтылғандық немесе бөлінгендік шарттарын қалдырады немесе негізгі өрістің алгебралық жабық еместігіне рұқсат береді. Классикалық алгебралық сорттар – алгебралық жабық өрістегі квазипроективті интегралды бөлінген шекті типтегі схемалар.
Квазипроективті емес абстрактілі алгебралық түрлердің болуы
Нагата квазипроективті емес алгебралық сорттардың ең алғашқы мысалдарының бірін келтірген.
Ішкі сорт
Субвариант – бұл сорттың өзі сорт болатын (орталық сорттың тудырған топологиялық құрылымына қатысты) ішкі жиыны. Мысалы, кез келген сорттың ашық ішкі жиыны сорт болып табылады. Сондай-ақ, жабық ендіру туралы да қараңыз. Гилберт теоремасы (Nullstellensatz) аффиндік немесе проективтік сорттың жабық субварианттары, сорттың координаталық сақинасының жай идеалдарымен немесе маңызды емес гомогенді жай идеалдарымен бір-бірге сәйкес келеді деп айтады.
1-ші мысал
Келіңіздер, A2 – C сақинасының үстіндегі екі өлшемді аффиндік кеңістік болсын. C[x, y] сақинасындағы полиномдарды A2 нүктелерінде есептеу арқылы A2 бойынша комплекс санды функциялар ретінде қарастыруға болады. C[x, y] жиынының S ішкі жиынында тек бір f (x, y) элементі бар болсын:
f (x, y) функциясының нөлдік локусы – бұл функция нөлге тең болатын A2 нүктелерінің жиыны: бұл y = 1 − x сияқты барлық комплекс сандар жұптарының жиыны. Бұл аффиндік жазықтықтағы түзу деп аталады. (Комплекс сандардың топологиясынан туындаған классикалық топологияда комплекс түзуі – екінші өлшемді нақты манифольд.) Бұл Z( f ) жиыны:
Осылайша A2 ішкі жиыны алгебралық жиын болып табылады. V жиыны бос емес. Ол екі нақты алгебралық ішкі жиынның бірі ретінде жазылмайтындықтан, бөлгішсіз. Осылайша ол аффиндік алгебралық сан алуандығы болып табылады.
2-ші мысал
Келіңіздер, A2 – C үстінен екі өлшемді аффиндік кеңістік болсын. C[x, y] сақинасындағы полиномдарды A2 нүктелерінде бағалау арқылы A2 бойынша комплекс санды функциялар ретінде қарастыруға болады. C[x, y] жиынының S ішкі жиынында g(x, y) бір ғана элемент болсын:
g(x, y) нөлдік локусы – бұл функция нөлге тең болатын A2 нүктелерінің жиынтығы, яғни x² + y² = 1 шартын қанағаттандыратын (x, y) нүктелерінің жиынтығы. g(x, y) абсолютті түрде бөлгішсіз полином болғандықтан, бұл алгебралық сан. Оның нақты нүктелерінің жиынтығы (яғни x және y нақты сандар болатын нүктелер) бірлік шеңбер деп аталады; бұл атау кейде бүкіл санға да беріледі.
3-ші мысал
Келесі мысал гипербетке де, сызықтық кеңістікке де, жалғыз нүктеге де жатпайды. A3 болсын – C үстіндегі үш өлшемді аффиндік кеңістік. C-дегі x үшін (x, x², x³) нүктелерінің жиынтығы алгебралық түрлілік, және дәлірек айтқанда, ешқандай жазықтықта жатпайтын алгебралық қисық. Бұл жоғарыдағы суретте көрсетілген бұрылыс кубигі. Оны теңдеулер арқылы анықтауға болады. Бұл алгебралық жиынның толықтығын (irreducibility) дәлелдеу қажет. Осы жағдайдағы бір тәсіл – (x, y, z) → (x, y) проекциясының шешімдер жиынтығында инъективті екенін және оның бейнесі толықтығы бар жазықтық қисығы екенін тексеру. Күрделі мысалдар үшін ұқсас дәлелдеме қолданылуы мүмкін, бірақ ол күрделі есептеулерді талап етуі мүмкін: біріншіден, өлшемді анықтау үшін Грёбнер базисін есептеу, содан кейін айнымалылардың кездейсоқ сызықтық түрлендірілуі (әрқашан қажет емес); содан кейін проекцияны есептеу үшін басқа мономиалдық реттеу үшін Грёбнер базисін есептеу, оның жалпы инъективті екенін және оның бейнесі гипербет екенін дәлелдеу, және соңында бейне толықтығын дәлелдеу үшін полиномдық факторлау.
The irreducibility of this algebraic set needs a proof. One approach in this case is to check that the projection (x, y, z) → (x, y) is injective on the set of the solutions and that its image is an irreducible plane curve. For more difficult examples, a similar proof may always be given, but may imply a difficult computation: first a Gröbner basis computation to compute the dimension, followed by a random linear change of variables (not always needed); then a Gröbner basis computation for another monomial ordering to compute the projection and to prove that it is generically injective and that its image is a hypersurface, and finally a polynomial factorization to prove the irreducibility of the image.
Жалпы сызықтық топ
Базалық өріс k бойынша n x n матрицалар жиыны аффиндік n² кеңістігімен сәйкестендіріледі, координаталарында матрицаның (i, j)-шы мүшесі болады. Детерминант сонда полином болып табылады және осылайша гипербет анықтайды. Гипербеттің толықтыруы – бұл аффиндік кеңістіктің ашық ішкі жиыны, ол барлық инверттендірілетін n x n матрицалардан, жалпы сызықтық топтан тұрады. Бұл аффиндік алгебралық қисық, өйткені, әдетте, аффиндік алгебралық қисықтағы гипербеттің толықтыруы аффиндік болады. Нақтырақ айтқанда, аффиндік түзудің t координатасы берілген жерін қарастырайық. Содан кейін, бұл : координатасындағы полиномның нөлдік жиынына тең, яғни шешімі бар А матрицаларының жиыны. Бұл алгебралық тұрғыдан жақсы көрінеді: координаталық сақинасы – бұл локализация , оны базалық өріс k-нің мультипликативті тобы k* -мен сәйкестендіруге болады, ол да аффиндік алгебралық қисық болып табылады. Оның шекті көбейтіндісі – алгебралық тор, ол да аффиндік алгебралық қисық. Жалпы сызықтық топ – сызықтық алгебралық топтың мысалы, бұл топ құрылымы бар аффиндік алгебралық қисық, сондықтан топтық амалдар қисықтардың морфизмі болып табылады.
i. e., the set of matrices A such that has a solution. This is best seen algebraically: the coordinate ring of is the localization , which can be identified with
The multiplicative group k* of the base field k is the same as and thus is an affine variety. A finite product of it is an algebraic torus, which is again an affine variety. A general linear group is an example of a linear algebraic group, an affine variety that has a structure of a group in such a way the group operations are morphism of varieties.
Өзіндік сорт
A k өрісіндегі міндетті емес коммутативті алгебра болсын. Егер A коммутативті болмаса да, A-да сүзгілеу болуы мүмкін, онда байланысты сақина коммутативті, қысқартылған және k алгебрасы ретінде шекті түрде жасалған; яғни, X аффиндік (қайтаруға болатын) сан алуандығының координаттық сақинасы. Мысалы, егер A – шекті өлшемді Ли алгебрасының әмбебап орауыш алгебрасы болса, онда ол полиномдық сақина (PBW теоремасы); дәлірек айтқанда, жалқы векторлық кеңістіктің координаттық сақинасы. M, A үстінен сүзгіленген модуль болсын (яғни, ). Егер алгебра ретінде шекті түрде жасалса, онда X-тегі M-нің тірегі, яғни M нөлге тең болмайтын локус, M-нің сипаттамалық сан алуандығы деп аталады. Бұл ұғым D-модульдер теориясында маңызды рөл атқарады.
Let M be a filtered module over A (i. e., ). If is fintiely generated as a algebra, then the support of in X; i. e., the locus where does not vanish is called the characteristic variety of M. The notion plays an important role in the theory of D modules.
Жобалау сұрыптары
Проективті түрлік – проективті кеңістіктің жабық кішітүрлілігі. Яғни, ол – жай идеалды жасайтын гомогенді полиномиалдар жиынтығының нөлдік орны.
1-ші мысал
Жазық проекциялық қисық – үш белгісізі бар түгелдей гомогенді полиномның нөлдік жиыны болып табылады. Проективті түзу P1 – проекциялық қисықтың мысалы; оны проективті жазықтықтағы P2 = {[x, y, z]} 1=x = 0 арқылы анықталған қисық ретінде қарастыруға болады. Тағы бір мысал үшін, екі емес сипаттамалы өріс үстіндегі 2 өлшемді аффин кеңістігіндегі аффин кубтық қисықты қарастырайық. Оған сәйкес келетін кубтық гомогенді полином теңдеуі бар: ол P2 проективті жазықтығындағы эллиптік қисық деп аталатын қисықты анықтайды. Бұл қисықтың туысы бір (туыс формуласы); атап айтқанда, ол нөл туысы бар проективті түзу P1-ге изоморф емес. Қисықтарды ажырату үшін туысты пайдалану өте қарапайым: шындығында, туыс – қисықтарды жіктеу үшін қолданылатын алғашқы инвариант (алгебралық қисықтардың модульдерін құруды да қараңыз).
in the 2 dimensional affine space (over a field of characteristic not two). It has the associated cubic homogeneous polynomial equation:
which defines a curve in P2 called an elliptic curve. The curve has genus one (genus formula); in particular, it is not isomorphic to the projective line P1, which has genus zero. Using genus to distinguish curves is very basic: in fact, the genus is the first invariant one uses to classify curves (see also the construction of moduli of algebraic curves).
2-мысал: Грасман
V – шекті өлшемді векторлық кеңістік болсын. Грасманның V-ге қатысты Gn(V) қисықтығы – V кеңістігінің барлық n өлшемді ішкі кеңістіктерінің жиыны. Бұл проективті қисықтық: ол Плюккер енуі арқылы проективті кеңістікке енгізіледі: мұнда bi – V-дегі сызықтық тәуелсіз векторлардың кез келген жиынтығы, V-дің n-ші сыртқы қуаты, ал [w] жақшасы нөлдік емес вектор w-мен құрылған түзуді білдіреді. Грасманның қисықтығы табиғи векторлық бундельмен (немесе басқа терминологияда еркін жергілікті бундельмен) бірге келеді, ол таутологиялық бундель деп аталады және Черн кластары сияқты сипаттамалық кластарды зерттеуде маңызды рөл атқарады.
where bi are any set of linearly independent vectors in V, is the n th exterior power of V, and the bracket [w] means the line spanned by the nonzero vector w.
The Grassmannian variety comes with a natural vector bundle (or locally free sheaf in other terminology) called the tautological bundle, which is important in the study of characteristic classes such as Chern classes.
Якоб сорты және Абель сорты
C – тегіс толық қисық және оның Пикард тобы болсын; яғни, C-дегі сызықтық шоштардың изоморфизм кластарының тобы. C тегіс болғандықтан, оны C-нің бөлгіш кластар тобы ретінде қарастыруға болады, сондай-ақ дәрежелік гомоморфизм де бар. C-нің Якобиандық әртүрлілігі осы дәрежелік бейнелеудің ядросы болып табылады; яғни, C-дегі нөлдік дәрежедегі бөлгіш кластардың тобы. Якобиандық әртүрлілік – абельдік әртүрліліктердің мысалы, бұл үйлесімді абельдік топ құрылымы бар толық әртүрлілік (бірақ «абельдік» атауы оның абельдік топ болғандықтан емес). Абельдік әртүрлілік проективті болып шығады (қысқасы, алгебралық тета-функциялар проективті кеңістікке енгізуді қамтамасыз етеді. Абельдік әртүрліліктерді анықтайтын теңдеулерге қараңыз); демек, проективті әртүрлілік болып табылады. Бірлік элементіндегі жанама кеңістік табиғи түрде изоморфты , сондықтан, -нің өлшемі -нің туысы. C-де бір нүктені бекітейік. Кез келген бүтін сан үшін, C-нің n көшірмесінің көбейтіндісінде табиғи морфизм бар. (яғни, C – эллипстік қисық) үшін, жоғарыдағы морфизм изоморфизм болып шығады; атап айтқанда, эллипстік қисық – абельдік әртүрлілік.
Fix a point on For each integer , there is a natural morphism
where is the product of n copies of C. For (i. e., C is an elliptic curve), the above morphism for turns out to be an isomorphism; in particular, an elliptic curve is an abelian variety.
Модули тұқымдары
Берілген бүтін сан үшін, тегіс толық қисықтардың изоморфизм кластарының жиыны осы қисықтардың модульдері деп аталады және осылай белгіленеді: . Бұл модульдердің мүмкін редукцияланатын алгебралық сорт құрылымы бар екенін көрсетудің бірнеше жолы бар; мысалы, геометриялық инварианттық теорияны қолдану арқылы, изоморфизм кластары жиынының (редукцияланатын) квазипроективтік сорт құрылымы бар екендігін қамтамасыз етуге болады. Белгілі бір туысқан қисықтардың модульдері сияқты модульдер әдетте проективтік сорт емес; себебінің шамамен түсіндірмесі – тегіс қисықтың дегенерациясы (шегі) тегіс емес немесе редукцияланатын болады. Бұл тұрақтанған туысқан қисық түсінігіне алып келеді, яғни, аса жаман ерекшеліктері жоқ және тым үлкен автоморфизм тобы жоқ толық қисық. Тұрақтанған қисықтардың модульдері, тұрақтанған қисықтардың изоморфизм кластарының жиыны, проективтік сорт болып табылады, онда ашық ішкі жиын ретінде қамтылған. Шекаралық нүктелер қосылғандықтан, оны ықшамдау деп атайды. Тарихи тұрғыдан, Мамфорд пен Делиньнің еңбегі тұрақтанған қисық түсінігін енгізіп, -нің ирредукциялы екенін көрсетті.
The moduli of curves exemplifies a typical situation: a moduli of nice objects tend not to be projective but only quasi projective. Another case is a moduli of vector bundles on a curve. Here, there are the notions of stable and semistable vector bundles on a smooth complete curve The moduli of semistable vector bundles of a given rank and a given degree (degree of the determinant of the bundle) is then a projective variety denoted as , which contains the set of isomorphism classes of stable vector bundles of rank and degree as an open subset. Since a line bundle is stable, such a moduli is a generalization of the Jacobian variety of
In general, in contrast to the case of moduli of curves, a compactification of a moduli need not be unique and, in some cases, different non equivalent compactifications are constructed using different methods and by different authors. An example over is the problem of compactifying , the quotient of a bounded symmetric domain by an action of an arithmetic discrete group A basic example of is when , Siegel's upper half space and commensurable with ; in that case, has an interpretation as the moduli of principally polarized complex abelian varieties of dimension (a principal polarization identifies an abelian variety with its dual). The theory of toric varieties (or torus embeddings) gives a way to compactify , a toroidal compactification of it. But there are other ways to compactify ; for example, there is the minimal compactification of due to Baily and Borel: it is the projective variety associated to the graded ring formed by modular forms (in the Siegel case, Siegel modular forms; see also Siegel modular variety). The non uniqueness of compactifications is due to the lack of moduli interpretations of those compactifications; i. e., they do not represent (in the category theory sense) any natural moduli problem or, in the precise language, there is no natural moduli stack that would be an analog of moduli stack of stable curves.
Қисықтардың модульдері типік жағдайды көрсетеді: жақсы нысандардың модульдері проективті емес, тек квазипроективті болады. Басқа мысал – қисықтағы векторлық шоғырлардың модульдері. Мұнда тегіс толық қисықтағы тұрақтанған және жартылай тұрақтанған векторлық шоғырлар туралы түсініктер бар. Белгілі бір рангі және берілген дәрежесі бар жартылай тұрақтанған векторлық шоғырлардың модульдері (шоғыр детерминантының дәрежесі) проективтік сорт болып табылады, оны осылай белгілейді, және ол дәрежесі және дәрежесі бар тұрақтанған векторлық шоғырлардың изоморфизм кластарының жиынын ашық ішкі жиын ретінде қамтиды. Түзулі шоғыр тұрақтанғандықтан, мұндай модуль Якоби сортының жалпыламасы болып табылады.
The moduli of curves exemplifies a typical situation: a moduli of nice objects tend not to be projective but only quasi projective. Another case is a moduli of vector bundles on a curve. Here, there are the notions of stable and semistable vector bundles on a smooth complete curve The moduli of semistable vector bundles of a given rank and a given degree (degree of the determinant of the bundle) is then a projective variety denoted as , which contains the set of isomorphism classes of stable vector bundles of rank and degree as an open subset. Since a line bundle is stable, such a moduli is a generalization of the Jacobian variety of
In general, in contrast to the case of moduli of curves, a compactification of a moduli need not be unique and, in some cases, different non equivalent compactifications are constructed using different methods and by different authors. An example over is the problem of compactifying , the quotient of a bounded symmetric domain by an action of an arithmetic discrete group A basic example of is when , Siegel's upper half space and commensurable with ; in that case, has an interpretation as the moduli of principally polarized complex abelian varieties of dimension (a principal polarization identifies an abelian variety with its dual). The theory of toric varieties (or torus embeddings) gives a way to compactify , a toroidal compactification of it. But there are other ways to compactify ; for example, there is the minimal compactification of due to Baily and Borel: it is the projective variety associated to the graded ring formed by modular forms (in the Siegel case, Siegel modular forms; see also Siegel modular variety). The non uniqueness of compactifications is due to the lack of moduli interpretations of those compactifications; i. e., they do not represent (in the category theory sense) any natural moduli problem or, in the precise language, there is no natural moduli stack that would be an analog of moduli stack of stable curves.
Жалпы алғанда, қисықтар модульдерінен айырмашылығы, модульдің ықшамдалуы бірегей болуы міндетті емес, және кейбір жағдайларда әртүрлі теңдес емес ықшамдаулар әртүрлі әдістерді қолдана отырып және әртүрлі авторлармен жасалады. Мысалы, -нің ықшамдалу мәселесі, шектелген симметриялық доменнің арифметикалық дискретті топтың әрекеті арқылы алынған бөлігі. Негізгі мысал – , Сигельдің жоғарғы жарты кеңістігі және ; бұл жағдайда, өлшемдік негізгі поляризацияланған кешенді Абель сорттарының модульдері ретінде түсіндіріледі (негізгі поляризация Абель сортын оның дуалымен анықтайды). Торикалық сорттар теориясы (немесе торусқа енгізу) оның тороидтық ықшамдалуы болып табылатын -нің ықшамдалу жолын ұсынады. Бірақ ықшамдаудың басқа да жолдары бар; мысалы, Бейли мен Борелге байланысты минималды ықшамдау бар: ол модульдік формалар құрайтын сыныпталған сақинаға байланысты проективтік сорт (Сигель жағдайында, Сигель модульдік формалары; сондай-ақ Сигель модульдік сортын қараңыз). Ықшамдаулардың бірегей еместігі осы ықшамдаулардың модульдік интерпретацияларының болмауынан туындайды; яғни, олар (категориялық теория тұрғысынан) кез келген табиғи модульдік мәселені білдірмейді немесе нақты тілмен айтқанда, тұрақтанған қисықтардың модульдік стегінің аналогы болатын табиғи модульдік стек жоқ.
The moduli of curves exemplifies a typical situation: a moduli of nice objects tend not to be projective but only quasi projective. Another case is a moduli of vector bundles on a curve. Here, there are the notions of stable and semistable vector bundles on a smooth complete curve The moduli of semistable vector bundles of a given rank and a given degree (degree of the determinant of the bundle) is then a projective variety denoted as , which contains the set of isomorphism classes of stable vector bundles of rank and degree as an open subset. Since a line bundle is stable, such a moduli is a generalization of the Jacobian variety of
In general, in contrast to the case of moduli of curves, a compactification of a moduli need not be unique and, in some cases, different non equivalent compactifications are constructed using different methods and by different authors. An example over is the problem of compactifying , the quotient of a bounded symmetric domain by an action of an arithmetic discrete group A basic example of is when , Siegel's upper half space and commensurable with ; in that case, has an interpretation as the moduli of principally polarized complex abelian varieties of dimension (a principal polarization identifies an abelian variety with its dual). The theory of toric varieties (or torus embeddings) gives a way to compactify , a toroidal compactification of it. But there are other ways to compactify ; for example, there is the minimal compactification of due to Baily and Borel: it is the projective variety associated to the graded ring formed by modular forms (in the Siegel case, Siegel modular forms; see also Siegel modular variety). The non uniqueness of compactifications is due to the lack of moduli interpretations of those compactifications; i. e., they do not represent (in the category theory sense) any natural moduli problem or, in the precise language, there is no natural moduli stack that would be an analog of moduli stack of stable curves.
Афиналық емес және проекциялық емес мысал
Алгебралық түрлілік аффин де, проективті де бола алмайды. Мысал ретінде, 1=X = P1 × A1 және p: X → A1 проекциясын қарастырайық. Мұнда X – алгебралық түрлілік, себебі ол түрліліктердің көбейтіндісі. Ол аффин емес, өйткені P1 – X-тің жабық субварианты (p-нің нөлдік орны ретінде), бірақ аффин түрлілік жабық субвариант ретінде оң өлшемді проективті түрлілікті қамтуы мүмкін емес. Ол проективті де емес, себебі X-те тұрақты емес реттеулі функция бар; атап айтқанда, p. Аффин емес және проективті емес түрліліктің тағы бір мысалы – 1=X = A2 − (0, 0). (қ. .)
Another example of a non affine non projective variety is 1=X = A2 − (0, 0) (cf. .)
Үлгі емес
Аффиналық түзуді қарастырайық. Шеңбердің толықтығы алгебралық сан емес (тіпті алгебралық жиын да емес). -ның көпмүшелік емес екеніне назар аударыңыз (дегенмен, ол нақты координаттарда көпмүшелік болып табылады). Екінші жағынан, нөлдің толықтығы алгебралық (аффиналық) сан болып табылады, себебі нөл – бұл нөлдік локус. Бұны былай түсіндіруге болады: аффиналық түзудің өлшемі бір, сондықтан оның өзінен басқа кез келген ішкі түрінің өлшемі қатаң түрде кіші болуы керек; атап айтқанда, нөл. Осыған ұқсас себептермен, бірлік тобы (кешенді сандар бойынша) алгебралық сан емес, ал арнайы сызықтық топ – бұл жабық ішкі сан, -ның нөлдік локусы. (Басқа базалық өрісте бірлік тобына сан құрылымы берілуі мүмкін.)
Алгебралық сорттардың изоморфизмі
V1, V2 алгебралық қисықтар болсын. V1 және V2 изоморфты деп айтамыз және V1 ≅ V2 деп жазамыз, егер φ: V1 → V2 және ψ: V2 → V1 реттеулі бейнелеулер болса, онда ψ ∘ φ және φ ∘ ψ композициялары сәйкесінше V1 және V2 үшін сәйкестік бейнелеулері болып табылады.
Алгебралық көптік
Алгебралық көптүрлілік – алгебралық сан алуандық, сонымен қатар m өлшемді көптүрлілік болып табылады, сондықтан кез келген жеткілікті кішкентай жергілікті бөлігі km-ге изоморфты. Басқаша айтқанда, сан алуандық тегіс (жекеше нүктелерден бос). Егер k нақты сандар, R болса, алгебралық көптүрліліктер Нэш көптүрліліктері деп аталады. Алгебралық сан алуандықтарды аналитикалық алгебралық функциялардың шекті жиынтығының нөлдік жиынтығы ретінде анықтауға болады. Проективті алгебралық көптүрліліктер – проективті сан алуандықтар үшін балама анықтама. Риман сферасы – осыған бір мысал.