Введение

В математике отличительной особенностью алгебраической геометрии является то, что некоторые пучки прямых на проективном многообразии могут считаться "положительными", в то время как другие – "отрицательными" (или смесью этих свойств). Наиболее важным понятием позитивности является понятие обильного пучка прямых, хотя существует несколько связанных с ним классов пучков. Грубо говоря, свойства позитивности пучка прямых связаны с наличием большого числа глобальных сечений. Понимание обильных пучков прямых на заданном многообразии X сводится к пониманию различных способов отображения X в проективное пространство. В силу соответствия между пучками прямых и делителями (построенными из подмногообразий коразмерности 1), существует эквивалентное понятие обильного делителя. Более точно, пучок прямых называется свободен от базовых точек, если он имеет достаточно сечений для задания морфизма в проективное пространство. Пучок прямых является полуобильным, если некоторая его положительная степень свободна от базовых точек; полуобильность является своего рода "неотрицательностью". Более строго, пучок прямых на полном многообразии X является весьма обильным, если он имеет достаточно сечений для задания замкнутого погружения (или "вложения") X в проективное пространство. Пучок прямых является обильным, если некоторая его положительная степень весьма обильна. Обильный пучок прямых на проективном многообразии X имеет положительную степень на каждой кривой в X. Обратное утверждение не совсем верно, но существуют уточненные версии обратного – критерии Накая-Моишезона и Клеймана для обильности.

Бесбазовые пучки линий

Пусть X — схема над полем k (например, алгебраическое многообразие) с линейным расслоением L. (Линейное расслоение также может называться инвертируемым пучком.) Пусть — элементы k-векторного пространства глобальных сечений L. Нулевое множество каждого сечения является замкнутым подмножеством X; пусть U — открытое подмножество точек, в которых хотя бы одно из не равно нулю. Тогда эти сечения определяют морфизм.

Более подробно: для каждой точки x из U волокно L над x является 1-мерным векторным пространством над полем вычетов k(x). Выбор базиса для этого волокна превращает в последовательность из n+1 чисел, не все равных нулю, и, следовательно, в точку в проективном пространстве. Изменение выбора базиса масштабирует все числа на одну и ту же ненулевую константу, и поэтому точка в проективном пространстве не зависит от выбора. Более того, этот морфизм обладает свойством, что ограничение L на U изоморфно обратному отображению. Базовый локус линейного расслоения L на схеме X — это пересечение нулевых множеств всех глобальных сечений L. Линейное расслоение L называется свободной от базовых точек, если его базовый локус пуст. То есть, для каждой точки x из X существует глобальное сечение L, которое не равно нулю в x. Если X является собственным над полем k, то векторное пространство глобальных сечений имеет конечную размерность; эта размерность называется. Таким образом, линейное расслоение L, свободное от базовых точек, определяет морфизм над k, где , заданный выбором базиса для. Без какого-либо выбора это можно описать как морфизм из X в пространство гиперплоскостей в , канонически связанный со свободным от базовых точек линейным расслоением L. Этот морфизм обладает свойством, что L является обратным отображением.

Напротив, для любого морфизма f из схемы X в проективное пространство над k обратное расслоение свободно от базовых точек. Действительно, O(1) свободно от базовых точек на , поскольку для каждой точки y в существует гиперплоскость, не содержащая y. Следовательно, для каждой точки x в X существует сечение s O(1) над , которое не равно нулю в f(x), и обратное отображение s является глобальным сечением , которое не равно нулю в x. Короче говоря, линейные расслоения, свободные от базовых точек, — это именно те, которые можно выразить как обратное отображение O(1) некоторым морфизмом в проективное пространство.

Критерий Клеймана

Чтобы изложить критерий Клеймана (1966), пусть X — проективная схема над полем. Пусть — действительное векторное пространство 1-циклов (действительных линейных комбинаций кривых в X) по модулю численной эквивалентности, то есть два 1-цикла A и B равны в тогда и только тогда, когда для любого линейного расслоения степень на A и на B одинакова. По теореме Нерона — Севери, действительное векторное пространство имеет конечную размерность. Критерий Клеймана утверждает, что линейное расслоение L на X является обильным (ample) тогда и только тогда, когда L имеет положительную степень на каждом ненулевом элементе C замыкания конуса кривых NE(X) в (Это немного сильнее, чем требовать положительную степень L на каждой кривой.) Эквивалентно, линейное расслоение обильно тогда и только тогда, когда его класс в двойственном векторном пространстве лежит во внутренней области nef-конуса. Критерий Клеймана в общем случае не выполняется для правильных (а не проективных) схем X над полем, хотя он справедлив, если X гладкая или, в более общем случае, Q-факториальная. Линейное расслоение на проективном многообразии называется строго nef, если оно имеет положительную степень на каждой кривой, и Дэвид Мамфорд построил линейные расслоения на гладких проективных поверхностях, которые строго nef, но не обильны. Это показывает, что условие нельзя опустить в критерии Накая — Моишезона, и необходимо использовать замыкание NE(X) вместо NE(X) в критерии Клеймана. Каждое nef-расслоение на поверхности имеет , а примеры Нагаты и Мамфорда имеют . С. С. Сешадри показал, что линейное расслоение L на правильной схеме над алгебраически замкнутым полем является обильным тогда и только тогда, когда существует положительное вещественное число ε такое, что deg(L|C) ≥ εm(C) для всех (неприводимых) кривых C в X, где m(C) — максимум кратности в точках C.

Несколько характеристик обильности справедливы в более общем виде для линейных расслоений на правильном алгебраическом пространстве над полем k. В частности, критерий Накая — Моишезона верен в этой общности. Критерий Картана — Серра — Гротендика действует еще более общо для правильного алгебраического пространства над нётеровым кольцом R. (Если правильное алгебраическое пространство над R имеет обильное линейное расслоение, то оно фактически является проективной схемой над R.) Критерий Клеймана не выполняется для правильных алгебраических пространств X над полем, даже если X гладкое.

Открытость широты

На проективной схеме X над полем, критерий Клеймана подразумевает, что амплитуда является открытым условием для класса R-делителя (R-линейной комбинации делителей Картье) в , с его топологией, основанной на топологии действительных чисел. (R-делитель определяется как ample, если его можно представить в виде положительной линейной комбинации ample делителей Картье.) Элементарный частный случай: для ample делителя H и любого делителя E, существует положительное действительное число b, такое что является ample для всех действительных чисел a, абсолютная величина которых меньше b. В терминах делителей с целочисленными коэффициентами (или линейных расслоений), это означает, что nH + E является ample для всех достаточно больших положительных целых чисел n.

Amplituda также является открытым условием в совершенно ином смысле, когда многообразие или линейное расслоение варьируется в алгебраическом семействе. А именно, пусть – правильный морфизм схем, и пусть L – линейное расслоение на X. Тогда множество точек y в Y, таких что L является ample на волокне , открыто (в топологии Зариски). Более строго, если L является ample на одном волокне , то существует аффинное открытое окрестность U точки y, такая что L является ample на над U.

Широкие векторные пучки

Робин Хартшорн определил векторный расслоение F на проективной схеме X над полем как обильное, если прямая расслоение на пространстве гиперплоскостей в F является обильной. Несколько свойств обильных прямых расслоений распространяются на обильные векторные расслоения. Например, векторное расслоение F обильно тогда и только тогда, когда высокие симметрические степени F аннулируют когомологии когерентных пучков для всех. Также, класс Черна обильного векторного расслоения имеет положительную степень на каждой r-мерной подмногообразии X, для .

Большие линейные пучки

Полезное ослабление амплитуды, особенно в бирациональной геометрии, – это понятие большой прямой связки. Прямая связка L на проективном многообразии X размерности n над полем называется большой, если существует положительное вещественное число a и положительное целое число k, такие что для всех j. Это максимальная возможная скорость роста для пространств сечений степеней L, в том смысле, что для каждой прямой связки L на X существует положительное число b, такое что для всех j > 0. Существует несколько других характеристик больших прямых связок. Во-первых, прямая связка большая тогда и только тогда, когда существует положительное целое число r, такое что рациональное отображение из X в заданное сечениями является бирациональным на свое изображение. Кроме того, прямая связка L большая тогда и только тогда, когда она имеет положительную тензорную степень, которая является тензорным произведением обильной прямой связки A и эффективной прямой связки B (что означает, что ). Наконец, прямая связка большая тогда и только тогда, когда ее класс в находится во внутренности конуса эффективных делителей. Большую связку можно рассматривать как бирационально инвариантный аналог амплитуды. Например, если является доминирующим рациональным отображением между гладкими проективными многообразиями одной и той же размерности, то обратное отображение большой прямой связки на Y является большой на X. (На первый взгляд, обратное отображение – это только прямая связка на открытом подмножестве X, где f является морфизмом, но оно единственным образом продолжается на прямую связку на всем X.) Для обильных прямых связок можно лишь сказать, что обратное отображение обильной прямой связки конечным морфизмом является обильным. Пример: Пусть X будет раздутием проективной плоскости в точке над комплексными числами. Пусть H – это обратное отображение к X прямой на , а E – исключительная кривая раздутия. Тогда делитель H + E большой, но не обильный (или даже не nef) на X, потому что эта отрицательность также подразумевает, что базисный локус H + E (или любого положительного кратного) содержит кривую E. Фактически, этот базисный локус равен E.