Кіріспе
Домені жабық бірлік аралық болатын үздіксіз функция.
In mathematics, a path in a topological space is a continuous function from a closed interval into
Paths play an important role in the fields of topology and mathematical analysis. For example, a topological space for which there exists a path connecting any two points is said to be path connected. Any space may be broken up into path connected components. The set of path connected components of a space is often denoted
One can also define paths and loops in pointed spaces, which are important in homotopy theory. If is a topological space with basepoint then a path in is one whose initial point is Likewise, a loop in is one that is based at .
Математикада, топологиялық кеңістіктегі жол – жабық аралықтан үздіксіз функция. Жолдар топология және математикалық талдау салаларында маңызды рөл атқарады. Мысалы, кез келген екі нүктені қосатын жолы бар топологиялық кеңістік, жолмен байланысқан кеңістік деп аталады. Кез келген кеңістікті жолмен байланысқан компоненттерге бөлуге болады. Кеңістіктің жолмен байланысқан компоненттері жиынтығы көбінесе белгіленеді.
In mathematics, a path in a topological space is a continuous function from a closed interval into
Paths play an important role in the fields of topology and mathematical analysis. For example, a topological space for which there exists a path connecting any two points is said to be path connected. Any space may be broken up into path connected components. The set of path connected components of a space is often denoted
One can also define paths and loops in pointed spaces, which are important in homotopy theory. If is a topological space with basepoint then a path in is one whose initial point is Likewise, a loop in is one that is based at .
Сонымен қатар, гомотопия теориясында маңызды болатын, нүктеленген кеңістіктердегі жолдар мен циклдарды да анықтауға болады. Егер – негізгі нүктесі бар топологиялық кеңістік болса, онда кеңістігіндегі жолдың бастапқы нүктесі болады. Сол сияқты, цикл – нүктесінде негізделген цикл.
In mathematics, a path in a topological space is a continuous function from a closed interval into
Paths play an important role in the fields of topology and mathematical analysis. For example, a topological space for which there exists a path connecting any two points is said to be path connected. Any space may be broken up into path connected components. The set of path connected components of a space is often denoted
One can also define paths and loops in pointed spaces, which are important in homotopy theory. If is a topological space with basepoint then a path in is one whose initial point is Likewise, a loop in is one that is based at .
Жолдың құрамы
Топологиялық кеңістікте жолдарды келесідей құрастыруға болады. Егер $\gamma$ жолы $x$-тен $y$-ға, ал $\delta$ жолы $y$-дан $z$-ға болса, онда $\delta \circ \gamma$ жолы алдымен $\gamma$ жолын, содан кейін $\delta$ жолын жүріп өту арқылы анықталады:
Жолдың құрамы тек $\gamma$ жолының соңғы нүктесі $\delta$ жолының бастапқы нүктесімен сәйкес келгенде ғана анықталады. Егер бір $x$ нүктесіне негізделген барлық циклдарды қарастырсақ, жолдың құрамы екілік операция болады. Жолдың құрамы, қашан анықталса, параметрлеудің айырмашылығына байланысты ассоциативті емес. Дегенмен, ол жол гомотопиясына дейін ассоциативті. Яғни, $\delta \circ (\gamma \circ \eta) \simeq (\delta \circ \gamma) \circ \eta$. Жолдың құрамы бір $x$ нүктесінде негізделген циклдердің гомотопиялық кластары жиынтығында топтық құрылымды анықтайды. Нәтижесіндегі топ әдетте $x$ нүктесінде негізделген негізгі топ деп аталады және $\pi_1(X, x)$ деп белгіленеді.
Жолдың құрамының «дәл» ассоциативтілігі қажет болған жағдайларда, $X$ кеңістігіндегі жол кез келген нақты $t$ үшін аралық $[0, 1]$-ден $X$-ке үздіксіз бейнелеу ретінде анықталуы мүмкін (мұндай жол Мур жолы деп аталады). Мұндай жолдың ұзындығы келесідей анықталады: $L(\gamma) = \int_0^1 ||\gamma'(t)|| dt$. Жолдың құрамы бұрынғыдай анықталады, бірақ келесі өзгертумен:
Бұрынғы анықтама бойынша $\gamma$, $\delta$ және $\eta$ жолдарының барлығының ұзындығы $1$ (бейнелеу доменінің ұзындығы) болса, бұл анықтама $\gamma \circ \delta$ жолының ұзындығы $L(\gamma) + L(\delta)$ болады. Алдыңғы анықтама үшін ассоциативтілік сәтсіздікке ұшырауының себебі, $\gamma$ және $\delta$ жолдарының ұзындығы бірдей болғанымен, атап айтқанда $1$, $\gamma$ жолының орта нүктесі $0$ мен $1/2$ арасында, ал $\delta$ жолының орта нүктесі $1/2$ мен $1$ арасында орналасқан. Осы өзгертілген анықтамамен $\gamma$ және $\delta$ жолдарының ұзындығы бірдей болады, атап айтқанда $L(\gamma) + L(\delta)$, және орта нүктесі екі жолда да бірдей болады, яғни $L(\gamma)$ нүктесінде; жалпы алғанда, олардың барлық параметрлері бірдей болады.
Негізгі топтық
Жолдардың айқын бейнесі бар, ол кейде пайдалы. Кез келген топологиялық кеңістік, нысандары кеңістіктің нүктелері, ал морфизмдері жолдардың гомотопиялық кластары болатын категорияны тудырады. Бұл категориядағы кез келген морфизм изоморфизм болғандықтан, бұл категория – группоид, кеңістіктің негізгі группоиды деп аталады. Осы категориядағы циклдар – эндоморфизмдер (барлығы шын мәнінде автоморфизмдер). Кеністіктегі нүктенің автоморфизм тобы – бұл осы нүктеге негізделген негізгі топ. Көбірек айтқанда, Ван Кампен теоремасы үшін ыңғайлы болу үшін, кеңістіктің кез келген ішкі жиынындағы жолдардың гомотопиялық кластарын қолдана отырып, негізгі группоидты анықтауға болады.