Введение

Непрерывная функция, область определения которой является замкнутым единичным интервалом.

В математике, путь в топологическом пространстве — это непрерывная функция из замкнутого интервала в .

Пути играют важную роль в областях топологии и математического анализа. Например, топологическое пространство, для которого существует путь, соединяющий любые две точки, называется путистым (или полусвязным). Любое пространство может быть разбито на путистые компоненты. Множество путистых компонент пространства часто обозначается как .

Также можно определить пути и петли в пространствах с выделенной точкой, которые важны в теории гомотопий. Если — топологическое пространство с базовой точкой , то путь в — это путь, чья начальная точка является . Аналогично, петля в — это путь, основанный в точке .

Состав трассы

Можно составить пути в топологическом пространстве следующим образом. Предположим, что – путь от к , а – путь от к . Путь определяется как путь, полученный сначала прохождением , а затем прохождением :

Очевидно, композиция путей определена только тогда, когда конечная точка совпадает с начальной точкой . Если рассматривать все петли, основанные в точке , то композиция путей является бинарной операцией. Композиция путей, когда она определена, не является ассоциативной из-за разницы в параметризации. Однако она ассоциативна с точностью до гомотопии путей. То есть, . Композиция путей определяет групповую структуру на множестве классов гомотопии петлей, основанных в точке . Получающаяся группа называется фундаментальной группой с точкой опоры в , обычно обозначаемой .

В ситуациях, требующих ассоциативности композиции путей "в точности", путь в может быть определен как непрерывное отображение из интервала в для любого действительного числа (такой путь называется путем Мура). Путь такого типа имеет длину, определяемую как . Композиция путей затем определяется как и прежде, со следующим изменением:

В то время как при предыдущем определении , и все имеют длину (длина области определения отображения), это определение делает . Причиной неудачной ассоциативности предыдущего определения было то, что, хотя и имеют одинаковую длину, а именно , середина находится между и , в то время как середина находится между и . С этим измененным определением и имеют одинаковую длину, а именно , и одну и ту же середину, найденную в обоих и ; в более общем случае они имеют одинаковую параметризацию на всем протяжении.

Основные группоиды

Иногда полезна категорическая картина путей. Любое топологическое пространство порождает категорию, где объекты — это точки, а морфизмы — классы гомотопии путей. Поскольку любой морфизм в этой категории является изоморфизмом, эта категория является группоидом, называемым фундаментальным группоидом. Петли в этой категории — это эндоморфизмы (все они фактически автоморфизмы). Автоморфическая группа точки в является фундаментальной группой, основанной в . В более общем случае, можно определить фундаментальный группоид на любом подмножестве , используя классы гомотопии путей, соединяющих точки в . Это удобно для теоремы Ван Кампена.