Кіріспе
Математикалық ереже Математикада Шарковский теоремасы (Шарковский теоремасы, Шарковский теоремасы, Шарковский теоремасы немесе Сарковский теоремасы) – 1964 жылы жариялаған Александр Николаевич Шарковскийдің есімімен аталған дискретті динамикалық жүйелер туралы теорема. Теореманың маңызды тұжырымы – нақты сандар түзуіндегі дискретті динамикалық жүйеде 3 периоды бар тұрақты нүкте болса, онда ол кез келген басқа периодты тұрақты нүктелерге де ие болуы керек.
In mathematics, Sharkovskii's theorem (also spelled Sharkovsky's theorem, Sharkovskiy's theorem, Šarkovskii's theorem or Sarkovskii's theorem), named after Oleksandr Mykolayovych Sharkovsky, who published it in 1964, is a result about discrete dynamical systems. One of the implications of the theorem is that if a discrete dynamical system on the real line has a periodic point of period 3, then it must have periodic points of every other period.
Жалпылау және осыған байланысты нәтижелер
Шарковский сондай-ақ кері теореманы дәлелдеді: жоғарыдағы реттің кез келген жоғарғы жиыны – интервалдан өзіне дейінгі үздіксіз функцияның кезеңдер жиыны болады. Шындығында, мұндай кезеңдердің барлық жиындары функциялар отбасы арқылы , үшін , бос кезеңдер жиынынан басқа, қамтамасыз етіледі. Екінші жағынан, интервалдық бейнелеудің комбинаторлық құрылымы туралы қосымша ақпарат, мерзімді орбитадағы нүктелерге әсер ететін жағдайда, n кезеңді нүкте 3 кезеңін (сонымен қатар барлық кезеңдерді) тудыруы мүмкін. Атап айтқанда, егер орбиталық типте (мерзімді орбитадағы нүктелерге бейнелеудің әсерінен туындаған циклдық пермутация) созылатын жұп болса, онда бұл 3 кезеңді нүктенің бар екенін білдіреді. Көрсетілгендей (асимптотикалық мағынада), барлық циклдық пермутациялардың кем дегенде біреуі созылатын жұпқа ие, сондықтан барлық орбиталық типтер 3 кезеңді білдіреді. Тьен Йен Ли және Джеймс А. Йорк 1975 жылы 3 кезеңді циклдің болуы барлық кезеңдердің циклдарының болуын ғана емес, сонымен қатар кез келген циклға ешқашан бейнеленбейтін нүктелердің санаусыз көптігінің болуын білдіретінін көрсетті (хаотикалық нүктелер) – бұл үшінші кезең хаосты білдіреді деп аталатын қасиет. Шарковский теоремасы басқа топологиялық кеңістіктердегі динамикалық жүйелерге тікелей қолданылмайды. Мысалы, тек 3 кезеңді нүктелері бар шеңберлік бейнелеуді табу оңай: 120 градусқа бұруды қарастырыңыз. Бірақ кейбір жалпылаулар мүмкін, әдетте кеңістіктің мерзімді орбитасынан тыс бейнелеу класы тобын қамтиды. Мысалы, Питер Клоден Шарковский теоремасы үшбұрышты бейнелеулер үшін жарамды екенін көрсетті, яғни fi компоненті тек бірінші i компоненттерге x1, …, xi тәуелді болатын бейнелеулер үшін.
On the other hand, with additional information on the combinatorial structure of the interval map acting on the points in a periodic orbit, a period n point may force period 3 (and hence all periods). Namely, if the orbit type (the cyclic permutation generated by the map acting on the points in the periodic orbit) has a so called stretching pair, then this implies the existence of a periodic point of period 3. It can be shown (in an asymptotic sense) that almost all cyclic permutations admit at least one stretching pair, and hence almost all orbit types imply period 3. Tien Yien Li and James A. Yorke showed in 1975 that not only does the existence of a period 3 cycle imply the existence of cycles of all periods, but in addition it implies the existence of an uncountable infinitude of points that never map to any cycle (chaotic points)—a property known as period three implies chaos. Sharkovskii's theorem does not immediately apply to dynamical systems on other topological spaces. It is easy to find a circle map with periodic points of period 3 only: take a rotation by 120 degrees, for example. But some generalizations are possible, typically involving the mapping class group of the space minus a periodic orbit. For example, Peter Kloeden showed that Sharkovskii's theorem holds for triangular mappings, i. e., mappings for which the component fi depends only on the first i components x1, , xi.