Введение
В математике теорема Шарковского (также называемая теоремой Шарковского, теоремой Шарковского, теоремой Шарковского или теоремой Сарковского), названная в честь Александра Николаевича Шарковского, опубликовавшего её в 1964 году, является результатом о дискретных динамических системах. Одно из следствий теоремы заключается в том, что если дискретная динамическая система на вещественной прямой имеет периодическую точку периода 3, то она должна иметь периодические точки любого другого периода.
In mathematics, Sharkovskii's theorem (also spelled Sharkovsky's theorem, Sharkovskiy's theorem, Šarkovskii's theorem or Sarkovskii's theorem), named after Oleksandr Mykolayovych Sharkovsky, who published it in 1964, is a result about discrete dynamical systems. One of the implications of the theorem is that if a discrete dynamical system on the real line has a periodic point of period 3, then it must have periodic points of every other period.
Обобщения и связанные с ними результаты
Шарковский также доказал обратную теорему: каждое верхнее множество вышеуказанного порядка является множеством периодов для некоторой непрерывной функции от интервала к самому себе. Фактически, все такие множества периодов реализуются семейством функций , для , за исключением пустого множества периодов, которое реализуется функцией . С другой стороны, при наличии дополнительной информации о комбинаторной структуре отображения интервала, действующего на точки периодической орбиты, точка периода *n* может обусловить существование периода 3 (и, следовательно, всех периодов). А именно, если тип орбиты (циклическая перестановка, порождаемая отображением, действующим на точки периодической орбиты) содержит так называемую растягивающую пару, то это влечет за собой существование периодической точки периода 3. Можно показать (в асимптотическом смысле), что почти все циклические перестановки содержат хотя бы одну растягивающую пару, и, следовательно, почти все типы орбит подразумевают период 3. Тянь Йен Ли и Джеймс А. Йорк показали в 1975 году, что не только существование цикла периода 3 влечет за собой существование циклов всех периодов, но и существование бесконечного несчётного множества точек, которые никогда не попадают ни на один цикл (хаотических точек) – свойство, известное как «период три влечет за собой хаос». Теорема Шарковского не применяется непосредственно к динамическим системам на других топологических пространствах. Легко найти отображение окружности, имеющее только периодические точки периода 3: например, вращение на 120 градусов. Однако некоторые обобщения возможны, как правило, с использованием группы классов отображений пространства минус периодическую орбиту. Например, Питер Клоден показал, что теорема Шарковского справедлива для треугольных отображений, то есть отображений, для которых компонент *f<sub>i</sub>* зависит только от первых *i* компонентов *x<sub>1</sub>*, …, *x<sub>i</sub>*.
On the other hand, with additional information on the combinatorial structure of the interval map acting on the points in a periodic orbit, a period n point may force period 3 (and hence all periods). Namely, if the orbit type (the cyclic permutation generated by the map acting on the points in the periodic orbit) has a so called stretching pair, then this implies the existence of a periodic point of period 3. It can be shown (in an asymptotic sense) that almost all cyclic permutations admit at least one stretching pair, and hence almost all orbit types imply period 3. Tien Yien Li and James A. Yorke showed in 1975 that not only does the existence of a period 3 cycle imply the existence of cycles of all periods, but in addition it implies the existence of an uncountable infinitude of points that never map to any cycle (chaotic points)—a property known as period three implies chaos. Sharkovskii's theorem does not immediately apply to dynamical systems on other topological spaces. It is easy to find a circle map with periodic points of period 3 only: take a rotation by 120 degrees, for example. But some generalizations are possible, typically involving the mapping class group of the space minus a periodic orbit. For example, Peter Kloeden showed that Sharkovskii's theorem holds for triangular mappings, i. e., mappings for which the component fi depends only on the first i components x1, , xi.