Кіріспе
Топологияда, математиканың бір саласы, М-ді кішігірім бөлшектердің комбинациясы ретінде жазу арқылы М-ді бөлшектеу немесе бөлу мүмкін. Мұны істеу кезінде, сол бөлшектердің қандай екенін және оларды қалай біріктіріп, М-ді құру керектігін нақтылау қажет. Көпқырлы ыдырау екі бағытта жұмыс істейді: кішігірім бөлшектерден басталып, көпқырлы құрастыруға болады немесе үлкен көпқырлыдан басталып, оны ыдыратады. Соңғысы көпқырлыларды зерттеудің өте пайдалы тәсілі болып шықты: ыдырау сияқты құралдарсыз, кейде көпқырлыны түсіну өте қиын. Әсіресе, ол 3-көпқырлыларды жіктеу және жоғары өлшемді Пуанкаре болжамын дәлелдеу үшін пайдалы болды. Төмендегі кестеде әртүрлі көпқырлы ыдырау әдістерінің жиынтығы берілген. "M" бағанасы қандай түрдегі көпқырлыны бөлшектеуге болатынын көрсетеді; "Оны қалай бөлшектеу керек" бағанасы көпқырлыны кішірек бөлшектерге қалай бөлшектеуге болатынын көрсетеді; "Бөлшектер" бағанасы бөлшектердің қандай бола алатынын көрсетеді; ал "Олар қалай біріктіріледі" бағанасы кішірек бөлшектердің үлкен көпқырлыны жасау үшін қалай біріктірілетіндігін көрсетеді. Ыдырау түрі M Оны қалай бөлшектеу керек Бөлшектер Олар қалай біріктіріледі Үшбұрыштау Өлшемге байланысты. 3-өлшемде Эдвин Э. Моиздің теоремасы бойынша әрбір 3-көпқырлы бірегей үшбұрыштауға ие, ортақ бөлініске дейін бірегей. 4-өлшемде барлық көпқырлылар үшбұрыштауға бола бермейді. Жоғары өлшемдер үшін үшбұрыштаудың жалпы болуы белгісіз. Жақтар Бір өлшемді жұптарды біріктіру Жако-Шален/Йоханнсон тор ыдырауы Кемелденбеген, бағдарланатын, тығыз 3-көпқырлы Торды бойлай кесіңіз Атороидты немесе Сейферттің талшықты 3-көпқырлыларын біріктіру Олардың шекарасы бойынша, тривиальді гомеоморфизмді қолдану арқылы Басты ыдырау Негізінен беттер мен 3-көпқырлылар. Көпқырлы бағытталған болса, ыдырау ерекше болады. Кесіңіш сфераларды кесіңіз; содан кейін түйіспелі шарлармен алынған шекаралар бойынша тривиальді гомеоморфизм арқылы біріктіріңіз. Басты көпқырлы Тіркелген жиынтық Хигаард бөлінісі Жабық, бағдарланатын 3-көпқырлы Бір гендердегі екі тұтқалы дене Біріккен шекара бойымен кейбір гомеоморфизммен тұтқаның ыдырауы Кез келген тығыз (жабық) n-көпқырлы (және ыдырау ешқашан бірегей емес) Морзе функциялары арқылы тұтқа әр қиындау нүктеге байланысты. Шарлар (тұтқалар деп аталады) шекаралардың бір бөлігі бойынша біріктіріледі. Естеріңізге сала кетейік, тұтқалар әдетте белгілі бір тәртіппен қосылуы керек. Хакен иерархиясы Кез келген Хакен көпқырлы Сығымсыз беттер тізбегі бойынша кесіңіз 3 шар Дискі ыдырау Белгілі бір тығыз, бағдарланатын 3-көпқырлы Шіру көпқырлы, содан кейін арнайы беттер бойымен кесу (шекаралық қисықтар мен тігістердің жағдайы) 3 шар Ашық кітап ыдырау Кез келген жабық бағдарланатын 3-көпқырлы Сілтеме және осы сілтемемен шекараны бөлісетін 2-көпқырлылар отбасы Триген Компакт, жабық 3-көпқырлы Операциялар 3 бағдарланатын тұтқалы денелер Тұтқалардың шекаралары бойынша жер асты беттері бойымен одақтар.
Manifold decomposition works in two directions: one can start with the smaller pieces and build up a manifold, or start with a large manifold and decompose it. The latter has proven a very useful way to study manifolds: without tools like decomposition, it is sometimes very hard to understand a manifold. In particular, it has been useful in attempts to classify 3 manifolds and also in proving the higher dimensional Poincaré conjecture. The table below is a summary of the various manifold decomposition techniques. The column labeled "M" indicates what kind of manifold can be decomposed; the column labeled "How it is decomposed" indicates how, starting with a manifold, one can decompose it into smaller pieces; the column labeled "The pieces" indicates what the pieces can be; and the column labeled "How they are combined" indicates how the smaller pieces are combined to make the large manifold. Type of decomposition M How it is decomposed The pieces How they are combined Triangulation Depends on dimension. In dimension 3, a theorem by Edwin E. Moise gives that every 3 manifold has a unique triangulation, unique up to common subdivision. In dimension 4, not all manifolds are triangulable. For higher dimensions, general existence of triangulations is unknown. Simplices Glue together pairs of codimension one faces Jaco Shalen/Johannson torus decomposition Irreducible, orientable, compact 3 manifolds Cut along embedded tori Atoroidal or Seifert fibered 3 manifolds Union along their boundary, using the trivial homeomorphism Prime decomposition Essentially surfaces and 3 manifolds. The decomposition is unique when the manifold is orientable. Cut along embedded spheres; then union by the trivial homeomorphism along the resultant boundaries with disjoint balls. Prime manifolds Connected sum Heegaard splitting Closed, orientable 3 manifolds Two handlebodies of equal genus Union along the boundary by some homeomorphism Handle decomposition Any compact (smooth) n manifold (and the decomposition is never unique) Through Morse functions a handle is associated to each critical point. Balls (called handles) Union along a subset of the boundaries. Note that the handles must generally be added in a specific order. Haken hierarchy Any Haken manifold Cut along a sequence of incompressible surfaces 3 balls Disk decomposition Certain compact, orientable 3 manifolds Suture the manifold, then cut along special surfaces (condition on boundary curves and sutures ) 3 balls Open book decomposition Any closed orientable 3 manifold A link and a family of 2 manifolds that share a boundary with that link Trigenus Compact, closed 3 manifolds Surgeries Three orientable handlebodies Unions along subsurfaces on boundaries of handlebodies