Кіріспе
Математикалық түйіндер теориясында түйін емес, қарапайым түйін немесе тривиальды түйін – барлық түйіндердің ең қарапайымы болып саналады. Дұрыс айтқанда, түйін емес – бұл түйін байланбаған, жабық арқан. Түйіндер теориясымен айналысатын маман үшін түйін емес – үш өлшемді кеңістікте орналасқан, геометриялық дөңгелек түріне деформацияланатын (айналадағы изотопиялық) кез келген топологиялық шеңбер. Түйін емес – кіріктірілген дискінің шекарасы болатын жалғыз түйін, бұл тек түйін емес түйіндердің ғана Seifert тегі 0-ге тең екенін көрсетеді. Сондай-ақ, түйін емес түйіндерді қосу операциясы бойынша бейтарап элемент болып табылады.
In the mathematical theory of knots, the unknot, not knot, or trivial knot, is the least knotted of all knots. Intuitively, the unknot is a closed loop of rope without a knot tied into it, unknotted. To a knot theorist, an unknot is any embedded topological circle in the 3 sphere that is ambient isotopic (that is, deformable) to a geometrically round circle, the standard unknot. The unknot is the only knot that is the boundary of an embedded disk, which gives the characterization that only unknots have Seifert genus 0. Similarly, the unknot is the identity element with respect to the knot sum operation.
Түйіндерді шешу мәселесі
Белгілі бір түйіннің түйінсіз түйін екендігін анықтау түйін инварианттарын дамытудың маңызды себебі болды, себебі осы тәсіл түйін диаграммасы сияқты берілген түрлерден түйінсіз түйінді тануға тиімді алгоритмді ұсынуы мүмкін деп есептелді. Түйінсіз түйіннің танылуы NP және co NP кластарына жататыны белгілі. Түйіннің Флор гомологиясы және Хованов гомологиясы түйінсіз түйінді анықтайтыны мәлім, бірақ олардың осы мақсатта тиімді есептелуі әлі дәлелденбеді. Джонс полиномдары немесе шекті типтегі инварианттар түйінсіз түйінді анықтай ала ма, жоқ па, бұл мәселе әлі шешілмеген.
Мысалдар
Түйіннің бастапқыда түйінсіз болғанына қарамастан, оны шешудің жолын табу қиын болуы мүмкін, бірақ бұл міндеттің орындалуын көрсетеді. Thistlethwaite және Ochiai түйінді оңайлатудың түсінікті жолы жоқ түйіндердің диаграммаларының көптеген мысалдарын келтірді, олар диаграмманың қиылысу санын уақытша арттыруды қажет етеді. Арқан көбінесе жабық цикл түрінде болмаса да, кейде оның екі ұшын біріктіріп қарастыруға болады. Осы көзқарас бойынша, көптеген пайдалы тұрмыстық түйіндер, тіпті иілгіш түйіндер де түйінсіз түйін болып табылады. Кез келген иілгіш түйін байланыс ретінде бейнеленеді, яғни олардың ұштарында шарнирлі қосылыстармен байланысқан қатаң сызық сегменттерінің жиынтығы. Стик саны – түйінді байланыс ретінде бейнелеу үшін қажетті ең аз сегменттер саны, ал «жабысқан түйін» – бұл нақты түйінсіз байланыс, оны жазық дөңгелек көпбұрышқа өзгерту мүмкін емес. Қиылысу саны сияқты, байланыстың сегменттерін оңайлату үшін оларды бөліп күрделендіру қажет болуы мүмкін.