Хакенов манифольді және виртуалды Хакенов гипотезасы
Haken manifold
Хакенов манифольді – математикадағы 3-манифольд, ирредукциялық қасиеттері мен ішкі беттері зерттеледі. Агольдің дәлелдемесі және Virtually Haken гипотезасы.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикалық ұғым
Mathematics concept
Математикада Хакен көптігі – бұл компактты, P² азайтылмайтын 3 көптік, ол жеткілікті үлкен, яғни оның құрамында дұрыс енгізілген екі жақты сығылмайтын бет бар. Кейде тек бағытталған Хакен көптіктерін қарастырады, онда Хакен көптігі – бағытталған, азайтылмайтын 3 көптік, онда бағытталған, сығылмайтын бет бар. Хакен көптігімен шекті түрде жабылатын 3 көптік «виртуалды Хакен» деп аталады. Виртуалды Хакен болжамы шексіз фундаментал тобына ие кез келген компактты, азайтылмайтын 3 көптік виртуалды Хакен болады деп мәлімдейді. Бұл болжамды Иан Агол дәлелдеді. Хакен көптіктерін енгізген [автор аты] Хакен көптіктерінің иерархиясы бар екенін дәлелдеді, онда оларды сығылмайтын беттер бойынша 3 шарға бөлуге болады. Хакен сондай-ақ, егер 3 көптікте сығылмайтын бет болса, оны табудың шекті процедурасы бар екенін көрсетті. [автор аты] 3 көптігінің Хакен екенін анықтау үшін алгоритм берді. Нормальді беттер Хакен көптіктерінің теориясында кеңінен таралған және олардың қарапайым және қатаң құрылымы алгоритмдерге әкеледі.
In mathematics, a Haken manifold is a compact, P² irreducible 3 manifold that is sufficiently large, meaning that it contains a properly embedded two sided incompressible surface. Sometimes one considers only orientable Haken manifolds, in which case a Haken manifold is a compact, orientable, irreducible 3 manifold that contains an orientable, incompressible surface. A 3 manifold finitely covered by a Haken manifold is said to be virtually Haken. The Virtually Haken conjecture asserts that every compact, irreducible 3 manifold with infinite fundamental group is virtually Haken. This conjecture was proven by Ian Agol. Haken manifolds were introduced by proved that Haken manifolds have a hierarchy, where they can be split up into 3 balls along incompressible surfaces. Haken also showed that there was a finite procedure to find an incompressible surface if the 3 manifold had one. gave an algorithm to determine if a 3 manifold was Haken. Normal surfaces are ubiquitous in the theory of Haken manifolds and their simple and rigid structure leads quite naturally to algorithms.
Хакен иерархиясы
Біз тек бағытталған Хакен көпшіліктерін қарастырамыз, себебі бұл талқылауды жеңілдетеді; бағытталған 3-көпшіліктегі бағытталған беттің тұрақты аймағы – беттің "қалыңданған" түрі, яғни тривиалды I-будауы. Осылайша, тұрақты аймақ – 3-өлшемді ішкі-көпшілік, оның шекарасында беттің екі көшірмесі бар. Бағытталған Хакен көпшілігі M берілген, ол анықтама бойынша бағытталған, сығылмайтын бет S-ті қамтиды. S-тің тұрақты аймағын алып, оның ішін M-нен жойып, нәтижесінде M' пайда болады. Іс жүзінде, біз M-ді S беті бойынша кесіп жатырмыз. (Бұл бір өлшеммен төмен, бетті шеңбер немесе доға бойынша кесуге ұқсас.) Теорема бойынша, егер бағытталған компактты көпшіліктің шекаралық компоненті сфера болмаса, онда оның шексіз бірінші гомология тобы болады, бұл оның дұрыс орналасқан 2-жақты, бөлінбеген, сығылмайтын беті бар екенін білдіреді, сондықтан ол қайтадан Хакен көпшілігі болады. Осылайша, біз M'-де тағы бір сығылмайтын бетті таңдап, оны да кесіп аламыз. Егер кесудің осы тізбегі нәтижесінде бөліктері (немесе компоненттері) тек 3 шардан тұратын көпшілік пайда болса, онда біз бұл тізбекті иерархия деп атаймыз.
We will consider only the case of orientable Haken manifolds, as this simplifies the discussion; a regular neighborhood of an orientable surface in an orientable 3 manifold is just a "thickened up" version of the surface, i. e., a trivial I bundle. So the regular neighborhood is a 3 dimensional submanifold with boundary containing two copies of the surface. Given an orientable Haken manifold M, by definition it contains an orientable, incompressible surface S. Take the regular neighborhood of S and delete its interior from M, resulting in M' In effect, we've cut M along the surface S. (This is analogous, in one less dimension, to cutting a surface along a circle or arc.) It is a theorem that any orientable compact manifold with a boundary component that is not a sphere has an infinite first homology group, which implies that it has a properly embedded 2 sided non separating incompressible surface, and so is again a Haken manifold. Thus, we can pick another incompressible surface in M' , and cut along that. If eventually this sequence of cutting results in a manifold whose pieces (or components) are just 3 balls, we call this sequence a hierarchy.
Қолданбалар
Иерархия Хакен көптүрліліктері туралы теоремалардың белгілі бір түрлерін дәлелдеуді индукция мәселесіне келтіреді. Біріншіден, теорема 3 шар үшін дәлелденеді. Содан кейін, егер теорема Хакен көптүрлігін кесуден алынған бөліктер үшін дұрыс болса, онда ол сол Хакен көптүрлігі үшін де дұрыс екені дәлелденеді. Мұндағы маңызды жайт – кесу өте "жақсы", яғни сығылмайтын бет бойымен жүргізіледі. Бұл көптеген жағдайларда индукциялық қадамды дәлелдеуді мүмкін етеді. Хакен екі Хакен көптүрлігінің гомеоморфты екенін немесе емесін тексеруге арналған алгоритмнің жобасын жасады. Оның конспектісі Фридхельм Вальдхаузен, Клаус Йохансон, Джеффри Хемион, Сергей Матвеев және т.б. тарапынан толықтырылды. 3-көптүрлілік Хакен болып табылатынын тексеруге арналған алгоритм бар (Jaco–Oertel-ге қараңыз), сондықтан 3-көптүрлікті танудың негізгі мәселесі Хакен көптүрліліктері үшін шешілген деп санауға болады. Жабық Хакен көптүрліліктері топологиялық тұрғыдан қатаң екені дәлелденді: шамамен айтқанда, Хакен көптүрліліктерінің кез келген гомотопиялық теңдестігі гомеоморфизмге гомотопиялық (шекаралық жағдайда перифериялық құрылымға қатысты шарт қажет). Осылайша, осы үш көптүрліліктердің негізгі тобы толыққандай анықтайды. Сонымен қатар, Вальдхаузен Хакен көптүрліліктерінің негізгі топтарында шешілетін сөз мәселесі бар екенін дәлелдеді; бұл жартылай Хакен көптүрліліктері үшін де дұрыс. Иерархия Уильям Терстонның 3-көптүрліліктері үшін революциялық геометрияландыру бағдарламасының бір бөлігі болып табылатын Хакен көптүрліліктері үшін гиперболизация теоремасында шешуші роль атқарды. Атороидті, анулярлы, шекаралық тұрғыдан азайтылмайтын, Хакен үш көптүрліліктерінің шекті карталау кластық топтары бар екені дәлелденді. Бұл нәтиже Мостоу қатаңдығының Терстонның геометриялық теоремасымен үйлесуінен шығарылуы мүмкін.
The hierarchy makes proving certain kinds of theorems about Haken manifolds a matter of induction. One proves the theorem for 3 balls. Then one proves that if the theorem is true for pieces resulting from a cutting of a Haken manifold, then it is true for that Haken manifold. The key here is that the cutting takes place along a surface that was very "nice", i. e., incompressible. This makes proving the induction step feasible in many cases. Haken sketched out a proof of an algorithm to check if two Haken manifolds were homeomorphic or not. His outline was filled in by substantive efforts by Friedhelm Waldhausen, Klaus Johannson, Geoffrey Hemion, Sergeĭ Matveev, et al. Since there is an algorithm to check if a 3 manifold is Haken (cf. Jaco–Oertel), the basic problem of recognition of 3 manifolds can be considered to be solved for Haken manifolds. proved that closed Haken manifolds are topologically rigid: roughly, any homotopy equivalence of Haken manifolds is homotopic to a homeomorphism (for the case of boundary, a condition on peripheral structure is needed). So these three manifolds are completely determined by their fundamental group. In addition, Waldhausen proved that the fundamental groups of Haken manifolds have solvable word problem; this is also true for virtually Haken manifolds. The hierarchy played a crucial role in William Thurston's hyperbolization theorem for Haken manifolds, part of his revolutionary geometrization program for 3 manifolds. proved that atoroidal, anannular, boundary irreducible, Haken three manifolds have finite mapping class groups. This result can be recovered from the combination of Mostow rigidity with Thurston's geometrization theorem.