Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Төрт қиылысқан саны бар бірегей түйін.
Unique knot with a crossing number of four
Түйін теориясында, сегіздік түйін (сонымен қатар Листинг түйіні деп аталады) – төрт қиылысқан саны бар бірегей түйін болып табылады. Бұл оны ең кішкентай қиылысқан саны бойынша үшінші түйін етеді, алғашқы екеуі – бұл торап түйін және үш жапырақты түйін. Сегіздік түйін – жай түйін.
In knot theory, a figure eight knot (also called Listing's knot) is the unique knot with a crossing number of four. This makes it the knot with the third smallest possible crossing number, after the unknot and the
trefoil knot. The figure eight knot is a prime knot.
Атаудың шығу тегі
Атау осылай берілді, себебі, қанағаттанарлық сегіз түйін арқанға байлап, содан кейін екі ұшын қоссаңыз, математикалық түйіннің моделін аласыз.
The name is given because tying a normal figure eight knot in a rope and then joining the ends together, in the most natural way, gives a model of the mathematical knot.
Математикалық қасиеттері
Сегіз түйін фигурасы 3-көптүрліліктер теориясында маңызды тарихи рөл атқарды (және осы күні де атқаруда). 1970 жылдардың ортасынан соңына қарай Уильям Турстон сегіз түйіннің гиперболалық екенін көрсетті, оның толықтырғышын екі идеалды гиперболалық тетраэдрге жіктеді. (Роберт Райли мен Троелс Йоргенсен бір-бірінен тәуелсіз жұмыс істеп, сегіз түйіннің басқа тәсілдермен гиперболалық екенін бұрын көрсеткен болатын.) Бұл сол кезде жаңа құрылыс оған көптеген күшті нәтижелер мен әдістерді сыйлады. Мысалы, ол сегіз түйіндегі оннан басқа барлық Дехн операциялары Хакен емес, Сейферт талшықталмаған, редукцияланбайтын 3-көптүрліліктерге алып келетінін көрсетті; бұл осындай алғашқы мысалдардың бірі болды. Тёрстонның құрылысын басқа түйіндер мен байланыстарға жалпылау арқылы одан да көп мысалдар табылды. Сегіз түйін сонымен қатар гиперболалық түйін, оның толықтырғышы ең кішкентай көлемге ие, , мұнда – Лобачевский функциясы. Осы көзқарас бойынша, сегіз түйін ең қарапайым гиперболалық түйін деп есептелуі мүмкін. Сегіз түйіннің толықтырғышы Гиескинг көптүрлілігінің екі еселі жабыны болып табылады, ол компакт емес гиперболалық 3-көптүрліліктер арасында ең кішкентай көлемге ие. Сегіз түйін және (−2,3,7) прецель түйіні – 6-дан артық ерекше операциясы (Дехн операциялары гиперболалық емес 3-көптүрлілікке алып келетін) бар екі ғана гиперболалық түйін; олардың тиісінше 10 және 7 саны бар. Лакенби мен Мейерхоффтың теоремасы, оның дәлелі геометриялық гипотезаға және компьютерлік көмекке сүйенеді, кез келген гиперболалық түйіннің ерекше операцияларының ең көп саны 10-ға тең дейді. Алайда, қазіргі уақытта сегіз түйіннің 10 шегіне жететін жалғыз түйін екені белгісіз. Танымал гипотеза бойынша, шек (аталған екі түйіннен басқа) 6-ға тең. Сегіз түйіннің 1-туысы бар және ол талшықталған. Сондықтан оның толықтырғышы шеңбер бойынша талшықталған, ал талшықтар – бір шекаралық компоненті бар 2-өлшемді торлар болып табылатын Сейферт беттері. Монодромиялық бейнелеу 2-тордың гомеоморфизмі болып табылады, оны осы жағдайда матрицамен көрсетуге болады.
The figure eight knot has played an important role historically (and continues to do so) in the theory of 3 manifolds. Sometime in the mid to late 1970s, William Thurston showed that the figure eight was hyperbolic, by decomposing its complement into two ideal hyperbolic tetrahedra. (Robert Riley and Troels Jørgensen, working independently of each other, had earlier shown that the figure eight knot was hyperbolic by other means.) This construction, new at the time, led him to many powerful results and methods. For example, he was able to show that all but ten Dehn surgeries on the figure eight knot resulted in non Haken, non Seifert fibered irreducible 3 manifolds; these were the first such examples. Many more have been discovered by generalizing Thurston's construction to other knots and links. The figure eight knot is also the hyperbolic knot whose complement has the smallest possible volume, , where is the Lobachevsky function. From this perspective, the figure eight knot can be considered the simplest hyperbolic knot. The figure eight knot complement is a double cover of the Gieseking manifold, which has the smallest volume among non compact hyperbolic 3 manifolds. The figure eight knot and the (−2,3,7) pretzel knot are the only two hyperbolic knots known to have more than 6 exceptional surgeries, Dehn surgeries resulting in a non hyperbolic 3 manifold; they have 10 and 7, respectively. A theorem of Lackenby and Meyerhoff, whose proof relies on the geometrization conjecture and computer assistance, holds that 10 is the largest possible number of exceptional surgeries of any hyperbolic knot. However, it is not currently known whether the figure eight knot is the only one that achieves the bound of 10. A well known conjecture is that the bound (except for the two knots mentioned) is 6. The figure eight knot has genus 1 and is fibered. Therefore its complement fibers over the circle, the fibers being Seifert surfaces which are 2 dimensional tori with one boundary component. The monodromy map is then a homeomorphism of the 2 torus, which can be represented in this case by the matrix .