Введение

Изоморфизм дифференцируемых многообразий

В математике, диффеоморфизм — это изоморфизм дифференцируемых многообразий. Это обратимая функция, которая отображает одно дифференцируемое многообразие на другое таким образом, что как сама функция, так и её обратная функция бесконечно дифференцируемы.

Определение

При заданных двух дифференцируемых многообразиях M и N, дифференцируемое отображение f: M → N является диффеоморфизмом, если оно является биекцией и его обратное отображение f⁻¹: N → M также дифференцируемо. Если эти функции k раз непрерывно дифференцируемы, то f называется диффеоморфизмом класса Cᵏ. Два многообразия M и N диффеоморфны (обычно обозначается M ≅ N), если существует диффеоморфизм f: M → N. Два дифференцируемых многообразия диффеоморфны, если между ними существует биективное k раз непрерывно дифференцируемое отображение, обратное к которому также k раз непрерывно дифференцируемо.

Диффеоморфизмы подмножеств многообразий

При заданных подмножествах многообразия и многообразия , функция называется гладкой, если для всех из существует окрестность точки и гладкая функция такая, что ограничения совпадают: (обратите внимание, что является продолжением ). Функция называется диффеоморфизмом, если она биективна, гладка и ее обратная функция также гладка.

Группа диффеоморфизма

Пусть M — дифференцируемое многообразие, являющееся вторично счётноым и хаусдорфовым. Группа диффеоморфизмов M — это группа всех диффеоморфизмов M на само себя, обозначаемая Diff(M) или, когда M подразумевается, Diff. Это "большая" группа в том смысле, что — при условии, что M не является многообразием размерности нуль — она не локально компактна.

Примеры

Когда G является группой Ли, существует естественное включение G в свою собственную группу диффеоморфизмов посредством левого сдвига. Пусть Diff(G) обозначает группу диффеоморфизмов G, тогда существует расщепление Diff(G) = G × H, где H – подгруппа Diff(G), фиксирующая единичный элемент группы. Группа диффеоморфизмов евклидова пространства ℝⁿ состоит из двух компонент, состоящих из ориентациесохраняющих и ориентацию меняющих диффеоморфизмов. Фактически, общая линейная группа является ретрактом деформации подгруппы диффеоморфизмов, фиксирующих начало координат, посредством отображения. В частности, общая линейная группа также является ретрактом деформации полной группы диффеоморфизмов. Для конечного множества точек группа диффеоморфизмов является просто симметрической группой. Аналогично, если M – любое многообразие, существует групповое расширение Diff(M) = K ⋉ S₁, где K – подгруппа Diff(M), сохраняющая все компоненты связности M, а S₁ – группа перестановок множества компонент связности M. Более того, образ отображения K → S₁ состоит из биекций компонент связности, сохраняющих классы диффеоморфизмов.

Транзитивность

Для связного многообразия группа диффеоморфизмов действует транзитивно на . В более общем случае, группа диффеоморфизмов действует транзитивно на конфигурационное пространство . Если размерность равна по крайней мере двум, то группа диффеоморфизмов действует транзитивно на конфигурационное пространство , и это действие на является многократно транзитивным.

Расширения диффеморфизмов

В 1926 году Тибор Радо задался вопросом, приводит ли гармоническое продолжение любого гомеоморфизма или диффеоморфизма единичной окружности на единичный диск к диффеоморфизму на открытом диске. Вскоре после этого элегантное доказательство было предложено Хеллмутом Кнезером. В 1945 году Густав Шоке, по-видимому, не знакомый с этим результатом, представил совершенно иное доказательство. Группа диффеоморфизмов (сохраняющих ориентацию) окружности является путь-связной. Это можно увидеть, заметив, что любой такой диффеоморфизм можно поднять до диффеоморфизма вещественных чисел, удовлетворяющего определенным условиям; это пространство выпукло, и, следовательно, путь-связно. Гладкий путь, в конечном итоге постоянный, к тождественному отображению дает второй, более элементарный способ продолжения диффеоморфизма с окружности на открытый единичный диск (частный случай трюка Александра). Более того, группа диффеоморфизмов окружности имеет гомотопический тип ортогональной группы. Соответствующая задача о продолжении для диффеоморфизмов сфер более высоких размерностей интенсивно изучалась в 1950-х и 1960-х годах, с важным вкладом Рене Тома, Джона Милнора и Стивена Смаля. Препятствием для таких продолжений является конечная абелева группа, называемая «группой скрученных сфер», определяемая как факторгруппа абелевой компонентной группы группы диффеоморфизмов по подгруппе классов, продолжающихся до диффеоморфизмов шара.

Связь

Для многообразий группа диффеоморфизмов обычно не связна. Её связная компонента называется группой классов отображений. В размерности 2 (то есть для поверхностей) группа классов отображений является конечно представленной группой, порожденной скручениями Дена; это было доказано Максом Деном, В. Б. Р. Ликкоришем и Алленом Хэтчером. Макс Ден и Якоб Нильсен показали, что её можно отождествить с внешней группой автоморфизмов фундаментальной группы поверхности. Уильям Терстон уточнил этот анализ, классифицировав элементы группы классов отображений на три типа: эквивалентные периодическому диффеоморфизму; эквивалентные диффеоморфизму, сохраняющему простую замкнутую кривую; и эквивалентные псевдоаносовским диффеоморфизмам. В случае тора группа классов отображений является просто модулярной группой, и классификация становится классической в терминах эллиптических, параболических и гиперболических матриц. Терстон выполнил свою классификацию, заметив, что группа классов отображений действует естественным образом на компактификацию пространства Тейхмюллера; поскольку это расширенное пространство гомеоморфно замкнутому шару, стала применима теорема Брауэра о неподвижной точке. Смейл предположил, что если M – ориентированное гладкое замкнутое многообразие, то тождественная компонента группы диффеоморфизмов, сохраняющих ориентацию, проста. Это было впервые доказано для произведения окружностей Мишелем Германом; полное доказательство было получено Терстоном.

Типы гомотопии

Группа диффеоморфизмов имеет гомотопический тип подгруппы. Это было доказано Стивом Смалем. Группа диффеоморфизмов тора имеет гомотопический тип своих линейных автоморфизмов: . Группы диффеоморфизмов ориентируемых поверхностей рода *g* имеют гомотопический тип своих групп классов отображений (то есть компоненты связны и стягиваемы). Гомотопический тип групп диффеоморфизмов трехмерных многообразий достаточно хорошо изучен благодаря работам Иванова, Хэтчера, Габая и Рубинштейна, хотя некоторые случаи остаются открытыми (преимущественно трехмерные многообразия с конечными фундаментальными группами). Гомотопический тип групп диффеоморфизмов *n*-мерных многообразий при *n* ≥ 5 изучен плохо. Например, остается открытым вопрос о том, имеет ли более двух компонент связности. Однако, благодаря работам Милнора, Кана и Антонелли, известно, что при *n* ≥ 5 не имеет гомотопического типа конечного CW-комплекса.

Гомеоморфизм и диффеоморфизм

Поскольку каждый диффеоморфизм является гомеоморфизмом, то для пары многообразий, диффеоморфных друг другу, справедливо, что они гомеоморфны друг другу. Обратное, как правило, неверно. Хотя легко найти гомеоморфизмы, которые не являются диффеоморфизмами, найти пару гомеоморфных многообразий, не являющихся диффеоморфными, сложнее. В размерностях 1, 2 и 3 любая пара гомеоморфных гладких многообразий диффеоморфна. В размерности 4 или выше существуют примеры гомеоморфных, но не диффеоморфных пар. Первый такой пример был построен Джоном Милнором в размерности 7. Он построил гладкое 7-мерное многообразие (ныне называемое сферой Милнора), которое гомеоморфно стандартной 7-мерной сфере, но не диффеоморфно ей. Фактически, существует 28 классов ориентированных диффеоморфизмов многообразий, гомеоморфных 7-сфере (каждый из них является полным пространством расслоения над 4-сферой с 3-сферой в качестве волокна). Для 4-многообразий наблюдаются еще более необычные явления. В начале 1980-х годов, благодаря сочетанию результатов, полученных Саймоном Дональдсоном и Майклом Фридманом, было открыто существование экзотических многообразий: существует несчетное количество попарно недиффеоморфных открытых подмножеств, каждое из которых гомеоморфно , а также несчетное количество попарно недиффеоморфных дифференцируемых многообразий, гомеоморфных , которые не допускают гладкого вложения в .