Алгебралық беттердегі Ходж индексі теоремасы қиылыс жұптауын анықтайды. Бұл теорема, қисықтар кеңістігінің оң және теріс белгілі бөліктерге бөлінетінін көрсетеді. Математика.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Математикада, V алгебралық бетіндегі Ходж индексі теоремасы V алгебралық қисықтарындағы C қисықтарының қиылысу жұптасуының қолтаңбасын анықтайды. Ол, шамамен айтқанда, мұндай қисықтармен қамтылған кеңістік (сызықтық эквиваленттілікке дейін) оң анықталған (бірегей анықталмаған) бір өлшемді кіші кеңістікке ие, және осындай бір өлшемді кіші кеңістіктің тікелей қосындысы түрінде ыдырайды, сондай-ақ теріс анықталған қосымша кіші кеңістікке ие. Формальды тұрғыда, V – емес сингулярлық проективті бет екенін және H – берілген проективті ендірудегі V гипержазықтығының V-дегі бөлгіш класы болсын. Онда қиылысу
In mathematics, the Hodge index theorem for an algebraic surface V determines the signature of the intersection pairing on the algebraic curves C on V. It says, roughly speaking, that the space spanned by such curves (up to linear equivalence) has a one dimensional subspace on which it is positive definite (not uniquely determined), and decomposes as a direct sum of some such one dimensional subspace, and a complementary subspace on which it is negative definite. In a more formal statement, specify that V is a non singular projective surface, and let H be the divisor class on V of a hyperplane section of V in a given projective embedding. Then the intersection
d – V-нің дәрежесі (осы ендіруде). D – V-дегі рационалды бөлгіш кластарының векторлық кеңістігі болсын, алгебралық эквиваленттілікке дейін. D өлшемі шекті және әдетте ρ(V) арқылы белгіленеді. Ходж индексі теоремасы H кеңістігі D-де қамтылған кіші кеңістікте қиылысу жұптасуы теріс анықталған қосымша кіші кеңістік бар екенін айтады. Сондықтан, қолтаңба (көбінесе индекс деп те аталады) (1, ρ(V) – 1) болып табылады. Алгебралық эквиваленттілікке дейінгі бөлгіш кластарының абелдік тобы қазір Нерон-Севери тобы деп аталады; ол шекті түрде туындаған абелдік топ екені белгілі, ал нәтиже оның рационалдық сандар өрісімен тензорлық көбейтіндісіне қатысты. Сондықтан, ρ(V) – Нерон-Севери тобының рангімен (кейде тривиалды емес торсиялық кіші тобы болуы мүмкін) тең. Бұл нәтижені 1930-шы жылдары В.В.Д. Ходж күрделі сандардағы кеңістіктер үшін дәлелдеді, бұл итальяндық алгебралық геометрия мектебінің біраз уақыт бойы болжаған нәрсесінен кейін (әсіресе, Франческо Севери, бұл жағдайда ρ < ∞ екенін көрсетті). Ходж әдістері – Лефшец енгізген топологиялық әдістер. Нәтиже жалпы (алгебралық жабық) өрістерде қолданылады.
where d is the degree of V (in that embedding). Let D be the vector space of rational divisor classes on V, up to algebraic equivalence. The dimension of D is finite and is usually denoted by ρ(V). The Hodge index theorem says that the subspace spanned by H in D has a complementary subspace on which the intersection pairing is negative definite. Therefore, the signature (often also called index) is (1,ρ(V) 1). The abelian group of divisor classes up to algebraic equivalence is now called the Néron Severi group; it is known to be a finitely generated abelian group, and the result is about its tensor product with the rational number field. Therefore, ρ(V) is equally the rank of the Néron Severi group (which can have a non trivial torsion subgroup, on occasion). This result was proved in the 1930s by W. V. D. Hodge, for varieties over the complex numbers, after it had been a conjecture for some time of the Italian school of algebraic geometry (in particular, Francesco Severi, who in this case showed that ρ < ∞). Hodge's methods were the topological ones brought in by Lefschetz. The result holds over general (algebraically closed) fields.