Введение

В математике теорема Ходжа об индексе для алгебраической поверхности V определяет сигнатуру пар пересечений на алгебраических кривых C на V. Она утверждает, грубо говоря, что пространство, порожденное такими кривыми (с точностью до линейной эквивалентности), содержит одномерное подпространство, на котором эта форма является положительно определенной (не единственным образом), и разлагается в прямую сумму этого одномерного подпространства и дополнительного подпространства, на котором она отрицательно определена. В более строгой формулировке, предположим, что V – несингулярная проективная поверхность, и пусть H – класс делителя на V, соответствующий гиперплоскости V в заданном проективном вложении. Тогда пересечение равно d, где d – степень V (в этом вложении). Пусть D – векторное пространство рациональных классов делителей на V, рассматриваемых с точностью до алгебраической эквивалентности. Размерность D конечна и обычно обозначается ρ(V). Теорема Ходжа об индексе утверждает, что подпространство, порожденное H в D, имеет дополнительное подпространство, на котором пар пересечений отрицательно определена. Следовательно, сигнатура (часто также называемая индексом) равна (1, ρ(V) – 1). Абелева группа классов делителей, рассматриваемых с точностью до алгебраической эквивалентности, теперь называется группой Нерона-Севери; известно, что это конечно порожденная абелева группа, и результат связан с ее тензорным произведением с полем рациональных чисел. Таким образом, ρ(V) также является рангом группы Нерона-Севери (которая может содержать нетривиальную торсионную подгруппу). Этот результат был доказан в 1930-х годах У. В. Д. Ходжем для многообразий над комплексными числами, после того как он некоторое время был гипотезой итальянской школы алгебраической геометрии (в частности, Франческо Севери, который в этом случае показал, что ρ < ∞). Методы Ходжа были топологическими, заимствованными у Лефшеца. Результат справедлив для общих (алгебраически замкнутых) полей.