Кіріспе
Математикада Том кеңістігі, Том кешені немесе Понтрягин-Том құрылымы (Рене Том және Лев Понтрягиннің есімімен аталған) алгебралық топология және дифференциалдық топологияда кез келген паракомпакт кеңістіктегі векторлық шоғырға қатысты топологиялық кеңістік болып табылады.
Том кеңістігінің құрылысы
Бұл кеңістікті құрудың бір жолы мынадай. Паракомпакт кеңістік B-де n-рангты нақты векторлық бумдал болып табынсын. Содан кейін B-дегі әрбір b нүктесі үшін талшық – өлшемді нақты векторлық кеңістік болады. E-де ортогоналды құрылымды таңдайық, яғни талшықтардағы ішкі көбейтінді тегіс өзгеріп отырады; мұны бірлік бөлістерін пайдаланып жасауға болады. Бірлік шар шоғыры E-дегі ортогоналды құрылымымызға қатысты болсын, ал бірлік сфера шоғыры болсын. Содан кейін Том кеңістігі – топологиялық кеңістіктердің бөлімі болады. – бұл нүктеленген кеңістік, онда бөлімнен алынған кескін негізгі нүкте болып табылады. Егер B тығыз болса, онда – E-нің бір нүктелік тығыздалуы. Мысалы, егер E тривиальды бумдал болса, онда және B-ны бөлек негізгі нүктемен жазу, онда – және шамалық көбейтіндісі болады; яғни, –ның n-ші қысқартылған аспасы.
be a rank n real vector bundle over the paracompact space B. Then for each point b in B, the fiber is an dimensional real vector space. Choose an orthogonal structure on E, a smoothly varying inner product on the fibers; we can do this using partitions of unity. Let be the unit ball bundle with respect to our orthogonal structure, and let be the unit sphere bundle, then the Thom space is the quotient of topological spaces. is a pointed space with the image of in the quotient as basepoint. If B is compact, then is the one point compactification of E.
For example, if E is the trivial bundle , then and Writing for B with a disjoint basepoint, is the smash product of and ; that is, the n th reduced suspension of .
Том изоморфизмі
Бұл конструкцияның мәні келесі нәтижеден басталады, ол талшықтық бундельдердің когомологиясына жатады. (Біз нәтижені коэффициенттер тұрғысынан тұжырымдадық, бағытталғандығынан туындайтын қиындықтарды болдырмау үшін; сонымен қатар қараңыз, векторлық бундельдің бағытталуы#Том кеңістігі.) n рангілі нақты векторлық бундель болсын. Содан кейін, барлық k ≥ 0 үшін, қазір Том изоморфизмі деп аталатын изоморфизм бар, мұнда оң жағы қысқартылған когомология болып табылады. Бұл теореманы Рене Том 1952 жылғы атақты диссертациясында тұжырымдап, дәлелдеген. Теореманы жергілікті тривиализациялардағы суспензия изоморфизмінің жаһандық жалпылауы ретінде қарастыруға болады, өйткені k рангілі B-дегі тривиалды бундельдің Том кеңістігі, B-нің k-шы суспензиясына, оған қосылған бөлек нүктемен изоморфты (қ. #Том кеңістігінің құрылысы). Бұл теореманың Том кеңістігіне сілтеме жасамастан тұжырымдалған нұсқасында оңай көрінеді:
for all k greater than or equal to 0, where the right hand side is reduced cohomology. This theorem was formulated and proved by René Thom in his famous 1952 thesis. We can interpret the theorem as a global generalization of the suspension isomorphism on local trivializations, because the Thom space of a trivial bundle on B of rank k is isomorphic to the kth suspension of , B with a disjoint point added (cf. #Construction of the Thom space.) This can be more easily seen in the formulation of the theorem that does not make reference to Thom space:
In concise terms, the last part of the theorem says that u freely generates as a right module. The class u is usually called the Thom class of E. Since the pullback is a ring isomorphism, is given by the equation:
In particular, the Thom isomorphism sends the identity element of to u. Note: for this formula to make sense, u is treated as an element of (we drop the ring )
The standard reference for the Thom isomorphism is the book by Bott and Tu.
Қысқаша айтқанда, теореманың соңғы бөлігі u, оң модуль ретінде бос түрде туындайды дейді. u класы әдетте E-нің Том класы деп аталады. Кері тартым – сақиналық изоморфизм болғандықтан, келесі теңдік арқылы беріледі:
for all k greater than or equal to 0, where the right hand side is reduced cohomology. This theorem was formulated and proved by René Thom in his famous 1952 thesis. We can interpret the theorem as a global generalization of the suspension isomorphism on local trivializations, because the Thom space of a trivial bundle on B of rank k is isomorphic to the kth suspension of , B with a disjoint point added (cf. #Construction of the Thom space.) This can be more easily seen in the formulation of the theorem that does not make reference to Thom space:
In concise terms, the last part of the theorem says that u freely generates as a right module. The class u is usually called the Thom class of E. Since the pullback is a ring isomorphism, is given by the equation:
In particular, the Thom isomorphism sends the identity element of to u. Note: for this formula to make sense, u is treated as an element of (we drop the ring )
The standard reference for the Thom isomorphism is the book by Bott and Tu.
Атап айтқанда, Том изоморфизмі, u-ның бірлік элементін жібереді. Ескерту: бұл формуланың мәні болу үшін, u элемент ретінде қарастырылады (сақинаны түсіріп тастаймыз).
for all k greater than or equal to 0, where the right hand side is reduced cohomology. This theorem was formulated and proved by René Thom in his famous 1952 thesis. We can interpret the theorem as a global generalization of the suspension isomorphism on local trivializations, because the Thom space of a trivial bundle on B of rank k is isomorphic to the kth suspension of , B with a disjoint point added (cf. #Construction of the Thom space.) This can be more easily seen in the formulation of the theorem that does not make reference to Thom space:
In concise terms, the last part of the theorem says that u freely generates as a right module. The class u is usually called the Thom class of E. Since the pullback is a ring isomorphism, is given by the equation:
In particular, the Thom isomorphism sends the identity element of to u. Note: for this formula to make sense, u is treated as an element of (we drop the ring )
The standard reference for the Thom isomorphism is the book by Bott and Tu.
Том изоморфизміне қатысты стандартты анықтама – Ботт пен Тудың кітабы.
for all k greater than or equal to 0, where the right hand side is reduced cohomology. This theorem was formulated and proved by René Thom in his famous 1952 thesis. We can interpret the theorem as a global generalization of the suspension isomorphism on local trivializations, because the Thom space of a trivial bundle on B of rank k is isomorphic to the kth suspension of , B with a disjoint point added (cf. #Construction of the Thom space.) This can be more easily seen in the formulation of the theorem that does not make reference to Thom space:
In concise terms, the last part of the theorem says that u freely generates as a right module. The class u is usually called the Thom class of E. Since the pullback is a ring isomorphism, is given by the equation:
In particular, the Thom isomorphism sends the identity element of to u. Note: for this formula to make sense, u is treated as an element of (we drop the ring )
The standard reference for the Thom isomorphism is the book by Bott and Tu.
Томның еңбегінің маңызы
1952 жылғы мақаласында Том Том класының, Стифель-Уитни кластарының және Стинрод операцияларының барлығы байланысты екенін көрсетті. Ол осы идеяларды 1954 жылғы «Quelques propriétés globales des variétés differentiables» мақаласында кобордизм топтарын белгілі бір Том кеңістіктері MG(n) гомотопиялық топтары ретінде есептеуге болатынын дәлелдеу үшін пайдаланды. Дәлел тегіс көптүрліліктердің көлденеңдік қасиеттеріне тәуелді және олармен тығыз байланысты – Томнің көлденеңдік теоремасын қараңыз. Осы құрылымды кері қайтара отырып, Джон Милнор және Сергей Новиков (басқалармен бірге) жоғары өлшемді көптүрліліктердің болуы және бірегейлігі туралы сұрақтарға жауап бере алды: бұл қазір хирургия теориясы деп аталады. Сонымен қатар, MG(n) кеңістіктері бірігіп MG спектрлерін құрайды, бұл қазір Том спектрлері деп белгілі, ал кобордизм топтары шын мәнінде тұрақты. Томның құрылымы осылайша дифференциалдық топологияны және тұрақты гомотопия теориясын біріктіреді, және әсіресе сфералардың тұрақты гомотопиялық топтары туралы біліміміздің маңызды бөлігі болып табылады. Егер Стинрод операциялары қолжетімді болса, біз оларды және теореманың изоморфизмін Стифель-Уитни кластарын құру үшін пайдалана аламыз. Еске сала кетейік, Стинрод операциялары (mod 2) – барлық теріс емес бүтін сандар m үшін анықталған табиғи түрлендірулер. Егер , онда ол тостаған шаршымен сәйкес келеді. Векторлық шоғырдың i-інші Стифель-Уитни класын былай анықтауға болады:
defined for all nonnegative integers m. If , then coincides with the cup square. We can define the ith Stiefel–Whitney class of the vector bundle by:
Дифференциалданған коллекторларға әсері
Егер жоғарыдағы буманы тегіс көптіктің тангенциалдық бумасы деп қарасақ, жоғарыда айтылған қорытынды Ву формуласы деп аталады және келесідей маңызды салдары бар: Стинрод операциялары гомотопиялық эквиваленттілік астында өзгермейтіндіктен, көптіктің Штифель-Уитни кластары да өзгермейтін болады. Бұл керемет нәтиже, ол басқа сипаттамалық кластарға қолданылмайды. Сергей Новиковтың еңбегімен рационалды Понтрягин кластары үшін топологиялық инварианттылықты дәлелдейтін ұқсас белгілі және қиын нәтиже бар.