Введение
В математике пространство Тома, комплекс Тома или конструкция Понтрягина — Тома (названа в честь Рене Тома и Льва Понтрягина) — это топологическое пространство в алгебраической и дифференциальной топологии, ассоциированное с векторным расслоением над любым паракомпактным пространством.
Строительство пространства Том
Один из способов построения этого пространства следующий. Пусть E – вещественный векторный расслоение ранга n над паракомпактным пространством B. Тогда для каждой точки b из B волокно является n-мерным вещественным векторным пространством. Выберем ортогональную структуру на E, то есть плавно меняющийся скалярный продукт на волокнах; это можно сделать, используя разбиения единицы. Пусть U – расслоение единичных шаров относительно нашей ортогональной структуры, а S – расслоение единичных сфер. Тогда пространство Тома M(E) является факторпространством топологических пространств: M(E) = U/S. Это указанное пространство, в котором образ точки из U в факторпространстве служит базовой точкой. Если B компактно, то M(E) является одноточечной компактификацией E.
be a rank n real vector bundle over the paracompact space B. Then for each point b in B, the fiber is an dimensional real vector space. Choose an orthogonal structure on E, a smoothly varying inner product on the fibers; we can do this using partitions of unity. Let be the unit ball bundle with respect to our orthogonal structure, and let be the unit sphere bundle, then the Thom space is the quotient of topological spaces. is a pointed space with the image of in the quotient as basepoint. If B is compact, then is the one point compactification of E.
For example, if E is the trivial bundle , then and Writing for B with a disjoint basepoint, is the smash product of and ; that is, the n th reduced suspension of .
Например, если E – тривиальное расслоение B × ℝⁿ, то U = B × Dⁿ и S = B × Sⁿ⁻¹. Обозначая B с выколотой точкой через B⁺, M(E) является свободным произведением B⁺ и Sⁿ⁻¹; то есть, это n-я редуцированная суспензия B⁺.
be a rank n real vector bundle over the paracompact space B. Then for each point b in B, the fiber is an dimensional real vector space. Choose an orthogonal structure on E, a smoothly varying inner product on the fibers; we can do this using partitions of unity. Let be the unit ball bundle with respect to our orthogonal structure, and let be the unit sphere bundle, then the Thom space is the quotient of topological spaces. is a pointed space with the image of in the quotient as basepoint. If B is compact, then is the one point compactification of E.
For example, if E is the trivial bundle , then and Writing for B with a disjoint basepoint, is the smash product of and ; that is, the n th reduced suspension of .
Изоморфизм Тома
Значение этой конструкции начинается со следующего результата, относящегося к области кохомологии расслоений. (Мы сформулировали результат в терминах коэффициентов, чтобы избежать усложнений, связанных с ориентацией; см. также Ориентация векторного расслоения # Пространство Тома.) Пусть E – вещественное векторное расслоение ранга n. Тогда существует изоморфизм, ныне называемый изоморфизмом Тома:
для всех k, больших или равных 0, где правая часть – это редуцированная кокогомология. Эта теорема была сформулирована и доказана Рене Томом в его знаменитой диссертации 1952 года. Мы можем интерпретировать теорему как глобальное обобщение изоморфизма суспензий на локальных тривиализациях, поскольку пространство Тома тривиального расслоения над B ранга k изоморфно k-й суспензии B с добавленной выколотой точкой (см. #Построение пространства Тома). Это становится более очевидным в формулировке теоремы, не использующей понятие пространства Тома:
В сжатой форме последняя часть теоремы утверждает, что u свободно порождает H*(X; ℤ) как правый модуль. Класс u обычно называют классом Тома расслоения E. Поскольку обратное отображение является изоморфизмом колец, оно задается уравнением:
В частности, изоморфизм Тома отображает единичный элемент в u. Примечание: для того чтобы эта формула имела смысл, u рассматривается как элемент H*(X; ℤ) (мы опускаем кольцо).
Стандартным источником по изоморфизму Тома является книга Ботта и Ту.
Значение работы Тома
В своей статье 1952 года Том показал, что класс Тома, классы Стифеля — Уитни и операции Стинрода связаны между собой. Он использовал эти идеи, чтобы доказать в статье 1954 года *Quelques propriétés globales des variétés différentiables*, что группы кобордизма можно вычислить как гомотопические группы определенных пространств Тома MG(n). Доказательство опирается на и тесно связано со свойствами трансверсальности гладких многообразий — см. теорему о трансверсальности Тома. Обратив эту конструкцию вспять, Джон Милнор и Сергей Новиков (среди многих других) смогли ответить на вопросы о существовании и единственности многомерных многообразий: это теперь известно как теория хирургии. Кроме того, пространства MG(n) объединяются, образуя спектры MG, теперь известные как спектры Тома, и группы кобордизма на самом деле стабильны. Таким образом, конструкция Тома также объединяет дифференциальную топологию и стабильную теорию гомотопий и, в частности, является неотъемлемой частью наших знаний о стабильных гомотопических группах сфер. Если операции Стинрода доступны, мы можем использовать их и изоморфизм из теоремы для построения классов Стифеля — Уитни. Напомним, что операции Стинрода (по модулю 2) — это естественные преобразования, определенные для всех неотрицательных целых чисел m. Если m = 0, то совпадает с квадратом чашки. Мы можем определить i-й класс Стифеля — Уитни векторного расслоения следующим образом:
defined for all nonnegative integers m. If , then coincides with the cup square. We can define the ith Stiefel–Whitney class of the vector bundle by:
Последствия для дифференцируемых коллекторов
Если рассматривать пучок, упомянутый выше, как касательный пучок гладкого многообразия, то заключение, сделанное выше, называется формулой Ву и имеет следующее важное следствие: поскольку операции Стинрода инвариантны относительно гомотопической эквивалентности, мы приходим к выводу, что классы Штифеля — Уитни многообразия также инвариантны. Это замечательный результат, который не обобщается на другие классы характеристик. Существует аналогичный известный и сложный результат, устанавливающий топологическую инвариантность рациональных классов Понтрягина, полученный Сергеем Новиковым.