Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Жалғаспалы уақыт сызықтық жүйесі, тек теріс нақты бөліктері бар
Continuous time linear system with only negative real parts
Басқару теориясында, үздіксіз сызықтық уақыт инвариантты жүйесі (LTI) экспоненциалды тұрақты болады, егер және тек егер жүйенің өзіндік мәндері (яғни, кіріс-шығыс жүйелерінің полюстері) қатаң теріс нақты бөліктерге ие болса (яғни, кешенді жазықтықтың сол жартысында орналасқан болса). Дискретті уақыт кіріс-шығыс LTI жүйесі экспоненциалды тұрақты болады, егер және тек егер оның трансфер функциясының полюстері кешенді жазықтықтың нүктесінен ортақталған бірлік шеңбердің ішінде қатаң түрде жатса. LTI емес жүйелер экспоненциалды тұрақты болады, егер олардың жинақталуы экспоненциалдық төмендеумен шектелген болса. Экспоненциалдық тұрақтылық – асимптотикалық тұрақтылықтың бір түрі және ол жалпы динамикалық жүйелерге қолданылады.
In control theory, a continuous linear time invariant system (LTI) is exponentially stable if and only if the system has eigenvalues (i. e., the poles of input to output systems) with strictly negative real parts (i. e., in the left half of the complex plane). A discrete time input to output LTI system is exponentially stable if and only if the poles of its transfer function lie strictly within the unit circle centered on the origin of the complex plane. Systems that are not LTI are exponentially stable if their convergence is bounded by exponential decay. Exponential stability is a form of asymptotic stability, valid for more general dynamical systems.
Іс жүзіндегі салдарлары
Экспоненциалды тұрақты LTI жүйесі – шекті кіріс немесе нөлдік емес бастапқы жағдай берілген кезде "жарылысқа" ұшырамайтын (яғни шексіз шығыс бермейтін) жүйе. Сонымен қатар, егер жүйеге тұрақты, шекті кіріс (мысалы, сатылық сигнал) берілсе, шығыстағы кез келген тербелістер экспоненциалдық жылдамдықпен өшеді және шығыс асимптотикалық түрде жаңа, соңғы тұрақты мәнге жуықсады. Егер жүйеге Дирак дельта импульсі берілсе, туындаған тербелістер тоқтатылып, жүйе бұрынғы күйіне оралады. Егер тербелістер өшпесе немесе импульс берілген кезде жүйе бастапқы шығысына оралмаса, онда жүйе шекті тұрақты болып саналады.
An exponentially stable LTI system is one that will not "blow up" (i. e., give an unbounded output) when given a finite input or non zero initial condition. Moreover, if the system is given a fixed, finite input (i. e., a step), then any resulting oscillations in the output will decay at an exponential rate, and the output will tend asymptotically to a new final, steady state value. If the system is instead given a Dirac delta impulse as input, then induced oscillations will die away and the system will return to its previous value. If oscillations do not die away, or the system does not return to its original output when an impulse is applied, the system is instead marginally stable.
Экспоненциалды тұрақты LTI жүйелерінің мысалы
Оң жақтағы графикте екі ұқсас жүйенің импульстік реакциясы көрсетілген. Жасыл сызық импульстік жауабы бар жүйенің жауабын, ал көк сызық екінші жүйенің жауабын көрсетеді. Бір жауап тербелісті болса да, екеуі де уақыт өте келе бастапқы 0 мәніне оралады.
The graph on the right shows the impulse response of two similar systems. The green curve is the response of the system with impulse response , while the blue represents the system Although one response is oscillatory, both return to the original value of 0 over time.
Нақты мысал
Бір түйіршікті қасыққа салып отырғаныңызды елестетіп көріңіз. Ол қасықтың ең төменгі нүктесіне орналасады және егер оны қозғалтпаса, онда сонда қалады. Енді, шарды итеріп жібергенімізді елестетіңіз, бұл Дирак дельта импульсіне жуық. Мәрмәр алға-артқа домалап, ақырында қасық түбінде тоқталады. Мәрмәрдің уақыт өте келе көлденең қозғалысын сызу жоғарыдағы суреттегі көк қисық сияқты біртіндеп азаятын синусоиданы береді. Бұл жағдайда қадамдық сигнал беру үшін мәрмәрді қасық түбінен алыс ұстап тұру керек, сондықтан ол кері домалап қайта алмайды. Ол сол орнында қалады және егер жүйе тек шекті тұрақты немесе толығымен тұрақсыз болса, салмағына тең осы тұрақты күшпен қасық түбінен алыстамайды. Бұл мысалда жүйе барлық сигналдар үшін тұрақты емес екенін ескеру маңызды. Мәрмәрді жеткілікті күшпен итерсеңіз, ол қасықтан құлап түсіп, еденге жеткенде ғана тоқтайды. Сондықтан кейбір жүйелер үшін жүйе белгілі бір сигналдар диапазонында экспоненциалды тұрақты деп айту қажет.
Imagine putting a marble in a ladle. It will settle itself into the lowest point of the ladle and, unless disturbed, will stay there. Now imagine giving the ball a push, which is an approximation to a Dirac delta impulse. The marble will roll back and forth but eventually resettle in the bottom of the ladle. Drawing the horizontal position of the marble over time would give a gradually diminishing sinusoid rather like the blue curve in the image above. A step input in this case requires supporting the marble away from the bottom of the ladle, so that it cannot roll back. It will stay in the same position and will not, as would be the case if the system were only marginally stable or entirely unstable, continue to move away from the bottom of the ladle under this constant force equal to its weight. It is important to note that in this example the system is not stable for all inputs. Give the marble a big enough push, and it will fall out of the ladle and fall, stopping only when it reaches the floor. For some systems, therefore, it is proper to state that a system is exponentially stable over a certain range of inputs.