Устойчивость линейных систем с отрицательными действительными частями собственных значений
Exponential stability
Устойчивость линейных систем: экспоненциальная устойчивость ЛТИ систем, собственные значения с отрицательной вещественной частью, критерий стабильности.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Непрерывная линейная система с отрицательными действительными частями собственных значений
Continuous time linear system with only negative real parts
В теории управления непрерывная линейная стационарная система (LTI) экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда система имеет собственные значения (то есть полюса передаточной функции) с строго отрицательными действительными частями (то есть расположенные в левой полуплоскости комплексной плоскости). Дискретная по времени LTI-система экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда полюса ее передаточной функции расположены строго внутри единичной окружности с центром в начале координат комплексной плоскости. Системы, не являющиеся LTI, экспоненциально устойчивы, если их сходимость ограничена экспоненциальным убыванием. Экспоненциальная устойчивость является формой асимптотической устойчивости, применимой к более общим динамическим системам.
In control theory, a continuous linear time invariant system (LTI) is exponentially stable if and only if the system has eigenvalues (i. e., the poles of input to output systems) with strictly negative real parts (i. e., in the left half of the complex plane). A discrete time input to output LTI system is exponentially stable if and only if the poles of its transfer function lie strictly within the unit circle centered on the origin of the complex plane. Systems that are not LTI are exponentially stable if their convergence is bounded by exponential decay. Exponential stability is a form of asymptotic stability, valid for more general dynamical systems.
Практические последствия
Экспоненциально устойчивая LTI-система – это система, которая не "выходит из-под контроля" (т.е. не выдает неограниченный выход), при конечном входном сигнале или ненулевом начальном состоянии. Более того, если системе подать фиксированный конечный вход (например, единичный скачок), то любые возникающие колебания на выходе будут затухать экспоненциально, а выход будет асимптотически приближаться к новому конечному установившемуся значению. Если вместо этого на вход системы подать импульс Дирака, то вызванные им колебания затухнут, и система вернется к своему прежнему состоянию. Если колебания не затухают или система не возвращается к исходному состоянию при подаче импульса, то система является лишь гранично устойчивой.
An exponentially stable LTI system is one that will not "blow up" (i. e., give an unbounded output) when given a finite input or non zero initial condition. Moreover, if the system is given a fixed, finite input (i. e., a step), then any resulting oscillations in the output will decay at an exponential rate, and the output will tend asymptotically to a new final, steady state value. If the system is instead given a Dirac delta impulse as input, then induced oscillations will die away and the system will return to its previous value. If oscillations do not die away, or the system does not return to its original output when an impulse is applied, the system is instead marginally stable.
Пример экспоненциально стабильных систем LTI
График справа показывает импульсную характеристику двух схожих систем. Зелёная кривая отображает отклик системы с импульсной характеристикой , а синяя – системы. Несмотря на то, что один отклик осциллирует, оба со временем возвращаются к исходному значению 0.
The graph on the right shows the impulse response of two similar systems. The green curve is the response of the system with impulse response , while the blue represents the system Although one response is oscillatory, both return to the original value of 0 over time.
Пример из реального мира
Представьте, что вы кладете мрамор в половник. Он опустится в самую низкую точку половника и, если его не трогать, останется там. Теперь представьте, что вы толкаете шарик – это приближение к дельта-импульсу Дирака. Мрамор будет качаться вперед и назад, но в конечном итоге снова опустится на дно половника. Если изобразить горизонтальное положение мрамора во времени, получится постепенно затухающая синусоида, похожая на синюю кривую на изображении выше. Для поддержания шага на входе в этом случае необходимо удерживать мрамор вдали от дна половника, чтобы он не мог откатиться назад. Он останется в этом положении и не будет, как это произошло бы, если бы система была лишь незначительно стабильной или полностью нестабильной, продолжать удаляться от дна половника под постоянной силой, равной его весу. Важно отметить, что в этом примере система не является стабильной для всех воздействий. Если толкнуть мрамор достаточно сильно, он выпадет из половника и упадет, останавливаясь только когда достигнет пола. Поэтому для некоторых систем целесообразно говорить об экспоненциальной стабильности системы в определенном диапазоне воздействий.
Imagine putting a marble in a ladle. It will settle itself into the lowest point of the ladle and, unless disturbed, will stay there. Now imagine giving the ball a push, which is an approximation to a Dirac delta impulse. The marble will roll back and forth but eventually resettle in the bottom of the ladle. Drawing the horizontal position of the marble over time would give a gradually diminishing sinusoid rather like the blue curve in the image above. A step input in this case requires supporting the marble away from the bottom of the ladle, so that it cannot roll back. It will stay in the same position and will not, as would be the case if the system were only marginally stable or entirely unstable, continue to move away from the bottom of the ladle under this constant force equal to its weight. It is important to note that in this example the system is not stable for all inputs. Give the marble a big enough push, and it will fall out of the ladle and fall, stopping only when it reaches the floor. For some systems, therefore, it is proper to state that a system is exponentially stable over a certain range of inputs.