Кіріспе
Теңдеулерді шешу әдісі. Сандық талдауда кері квадраттық интерполяция – түбірді табу алгоритмі, яғни f(x) = 0 түріндегі теңдеулерді шешу алгоритмі. Идеясы – f функциясының керісін жуықтау үшін квадраттық интерполяцияны қолдану. Бұл алгоритм көбінесе жеке қолданылмайды, бірақ ол маңызды, себебі танымал Брент әдісінің құрамдас бөлігі болып табылады.
In numerical analysis, inverse quadratic interpolation is a root finding algorithm, meaning that it is an algorithm for solving equations of the form f(x) = 0. The idea is to use quadratic interpolation to approximate the inverse of f. This algorithm is rarely used on its own, but it is important because it forms part of the popular Brent's method.
Әдістің түсіндірмесі
Біз xn−2, xn−1 және xn үш алдыңғы итерацияларды, олардың функциялық мәндерімен – fn−2, fn−1 және fn пайдаланамыз. f функциясының керісіне квадраттық интерполяция жасау үшін Лагранж интерполяция формуласын қолданғанда,
Біз f функциясының түбірін іздеп отырмыз, сондықтан y = f(x) = 0 теңдігін жоғарыдағы теңдеуге қоямыз, нәтижесінде жоғарыдағы рекурсия формуласы шығады.
Мінез-құлық
Асимптотикалық мінез-құлық өте жақсы: әдетте, xn итерациялары тамырға жақын келгеннен кейін тез жиналады. Дегенмен, бастапқы мәндер нақты тамырға жақын болмаса, өнімділік көбінесе нашар болады. Мысалы, егер кездейсоқ жағдайда fn−2, fn−1 және fn функцияларының екеуі бірдей мәнге ие болса, алгоритм толығымен сәтсіздікке ұшырайды. Сондықтан, кері квадраттық интерполяция көбінесе жеке алгоритм ретінде қолданылмайды. Бұл конвергенцияның дәрежесі шамамен 1,84-ке тең, және оны секант әдісінің талдауы арқылы дәлелдеуге болады.
Басқа тамырларды анықтау әдістерімен салыстыру
Кіріспеде айтылғандай, Брент әдісінде кері квадраттық интерполяция қолданылады. Кері квадраттық интерполяция басқа да кейбір түбірлерді табу әдістерімен тығыз байланысты. Квадраттық интерполяцияның орнына сызықтық интерполяция қолданса, секант әдісі алынады. f-тің өзінің кері функциясы емес, f-ті интерполяциялау Мюллер әдісін береді.