Берік дене динамикасындағы вектор жұптарының математикалық формуласы
Screw theory
Бұрықтар жұбын математикалық тұрғыдан қарастыратын бұрылыс теориясы – қатты дене динамикасының негізі. Векторлар, өрнектер, Chasles теоремасы туралы біліңіз.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Физикада қолданылатын векторлық жұптардың математикалық формулировкасы (қатаң дене динамикасы)
Mathematical formulation of vector pairs used in physics (rigid body dynamics)
Бұранда теориясы – қатаң денелердің кинематикасы мен динамикасында туындайтын бұрыштық және сызықтық жылдамдық, немесе күштер мен моменттер сияқты векторлар жұптарының алгебралық есептеуі. Бұранда теориясы, сызықтардың геометриясы үшін математикалық формулировканы ұсынады, бұл қатаң дене динамикасының негізгі бөлігі болып табылады, онда сызықтар кеңістіктік қозғалыстың бұранда осін және күштердің әсер бағыттарын құрайды. Сызықтың Плюккер координаталарын құрайтын векторлар жұбы бірлік бұранданы анықтайды, ал жалпы бұрандалар нақты сандар жұбымен көбейту және векторларды қосу арқылы алынады. Бұранда теориясының маңызды теоремалары: Көшіру принципі – векторлар арқылы нүктелерге жасалған геометриялық есептеулердің, векторларды бұрандалармен алмастыру арқылы алынған сызықтарға жасалған геометриялық есептеулермен параллель екенін дәлелдейді. Чейзл теоремасы – екі қатаң дененің кез келген күйін өзгерту бір ғана бұранда арқылы жүзеге асырылатынын дәлелдейді. Пуано теоремасы – қатаң дененің негізгі және ең кішкентай, бірақ аралық емес осьтері айналуының тұрақты екенін дәлелдейді. Бұранда теориясы робот механикасында, машина жасауда, есептеу геометриясында және көп дене динамикасында маңызды құрал болып табылады. Бұл, ішінара, қатаң дене қозғалыстарын интерполяциялау үшін қолданылған бұрандалар мен дуалды кватерниондар арасындағы байланысқа байланысты. Бұранда теориясы негізінде, параллель механизмдердің (параллель манипуляторлар немесе параллель роботтар) типтік синтезі үшін тиімді тәсіл әзірленді.
Screw theory is the algebraic calculation of pairs of vectors, such as angular and linear velocity, or forces and moments, that arise in the kinematics and dynamics of rigid bodies. Screw theory provides a mathematical formulation for the geometry of lines which is central to rigid body dynamics, where lines form the screw axes of spatial movement and the lines of action of forces. The pair of vectors that form the Plücker coordinates of a line define a unit screw, and general screws are obtained by multiplication by a pair of real numbers and addition of vectors. Important theorems of screw theory include: The Transfer Principle proves that geometric calculations for points using vectors have parallel geometric calculations for lines obtained by replacing vectors with screws. Chasles' theorem proves that any change between two rigid object poses can be performed by a single screw. Poinsot's theorem proves that rotations about a rigid object's major and minor but not intermediate axes are stable. Screw theory is an important tool in robot mechanics, mechanical design, computational geometry and multibody dynamics. This is in part because of the relationship between screws and dual quaternions which have been used to interpolate rigid body motions. Based on screw theory, an efficient approach has also been developed for the type synthesis of parallel mechanisms (parallel manipulators or parallel robots).
Негізгі түсініктер
Қатты дененің кеңістіктегі орын ауыстыруын бір түзу бойындағы айналу және сол түзу бойындағы аударма арқылы анықтауға болады, бұл Часлз теоремасы деп аталады. Бұрандалы қозғалысты анықтайтын алты параметр – бұранда осін анықтайтын Плюкер векторының төрт тәуелсіз компоненті, осы ось төңірегіндегі бұрылу бұрышы және осы түзу бойындағы сырғумен бірге, бұранда деп аталатын векторлар жұбын құрайды. Салыстыру үшін, кеңістіктегі орын ауыстыруды анықтайтын алты параметрді айналуды анықтайтын үш Эйлер бұрышы және аударма векторының үш компоненті арқылы да беруге болады.
A spatial displacement of a rigid body can be defined by a rotation about a line and a translation along the same line, called a This is known as Chasles' theorem. The six parameters that define a screw motion are the four independent components of the Plücker vector that defines the screw axis, together with the rotation angle about and linear slide along this line, and form a pair of vectors called a screw. For comparison, the six parameters that define a spatial displacement can also be given by three Euler angles that define the rotation and the three components of the translation vector.
Қалайсың ?
Бұранда – күш пен айналу моменты, сызықтық және бұрыштық жылдамдық сияқты үш өлшемді векторлар жұбынан құралған алты өлшемді вектор, ол қатаң денелердің кеңістіктегі қозғалысын зерттеуде пайда болады. Бұранданың құрамдас бөліктері кеңістіктегі түзудің Плюкер координаталарын, сондай-ақ түзу бойындағы вектордың және осы түзуге қатысты моменттің шамаларын анықтайды.
A screw is a six dimensional vector constructed from a pair of three dimensional vectors, such as forces and torques and linear and angular velocity, that arise in the study of spatial rigid body movement. The components of the screw define the Plücker coordinates of a line in space and the magnitudes of the vector along the line and moment about this line.
Бұрылысы
Бұрылыс – қатты дененің жылдамдығын, ось маңындағы бұрыштық жылдамдық және осы ось бойындағы сызықтық жылдамдық ретінде көрсетуге арналған бұранда. Дененің барлық нүктелерінде ось бойымен жылдамдықтың бірдей құрауысы болады, бірақ осьтен қашықтық артқан сайын, осы оське перпендикуляр жазықтықтағы жылдамдық та арта түседі. Осылайша, қозғалатын қатты дененің жылдамдық векторлары құратын спиральдік өріс, нүктелер бұрылыс осінен радиалды қашықтанған сайын жазықталады. Тұрақты бұрылу қозғалысын бастан кешіретін дененің нүктелері, бекітілген жүйеде спиральдарды жасайды. Егер бұл бұрандалы қозғалыстың қадамы нөлге тең болса, онда траекториялар шеңберлерді көрсетеді және қозғалыс таза айналу болып табылады. Егер бұрандалы қозғалыстың қадамы шексіз болса, онда траекториялардың барлығы бір бағыттағы түзу сызықтар болады.
A twist is a screw used to represent the velocity of a rigid body as an angular velocity around an axis and a linear velocity along this axis. All points in the body have the same component of the velocity along the axis, however the greater the distance from the axis the greater the velocity in the plane perpendicular to this axis. Thus, the helicoidal field formed by the velocity vectors in a moving rigid body flattens out the further the points are radially from the twist axis. The points in a body undergoing a constant twist motion trace helices in the fixed frame. If this screw motion has zero pitch then the trajectories trace circles, and the movement is a pure rotation. If the screw motion has infinite pitch then the trajectories are all straight lines in the same direction.
Аспап
Ньютон заңдарын қатты денеге қолдану кезінде туындайтын күш және айналу моменттері векторлары, ілгек деп аталатын бұрандаға біріктіріледі. Күштің қолданылу нүктесі және әрекет сызығы болады, сондықтан ол кеңістіктегі сызықтың Плюкер координаттарын анықтайды және бұранданың қадамы нөлге тең. Ал айналу моменті – кеңістіктегі сызыққа байланыстырылмаған таза момент болып табылады және шексіз қадамы бар бұранда. Бұл екі шаманың арақатынасы бұранданың қадамын анықтайды.
The force and torque vectors that arise in applying Newton's laws to a rigid body can be assembled into a screw called a wrench. A force has a point of application and a line of action, therefore it defines the Plücker coordinates of a line in space and has zero pitch. A torque, on the other hand, is a pure moment that is not bound to a line in space and is an infinite pitch screw. The ratio of these two magnitudes defines the pitch of the screw.
Көңілдікпен бұрандалар
Трансформация геометриясында трансформацияның негізгі ұғымы – бейнелеу (математика). Жазықтықтағы түрлендірулерде жылжу параллель түзулерде бейнелеу арқылы, ал айналу қиылысатын түзулер жұбында бейнелеу арқылы қол жеткізіледі. Бұрандалы түрлендіруді ұқсас ұғымдардан жасау үшін кеңістікте жазықтықтарды пайдалану қажет: параллель жазықтықтар бұранда осіне перпендикуляр болуы керек, ал бұл ось бұранданың айналуын тудыратын қиылысатын жазықтықтардың қиылысу сызығы болып табылады. Осылайша, төрт жазықтықтағы бейнелеу бұрандалы түрлендіруді жүзеге асырады. Инверсивті геометрия дәстүрі проективті геометрияның кейбір идеяларын қабылдайды және аналитикалық геометрияға тәуелді емес түрлендіру тілін ұсынады.
In transformation geometry, the elemental concept of transformation is the reflection (mathematics). In planar transformations a translation is obtained by reflection in parallel lines, and rotation is obtained by reflection in a pair of intersecting lines. To produce a screw transformation from similar concepts one must use planes in space: the parallel planes must be perpendicular to the screw axis, which is the line of intersection of the intersecting planes that generate the rotation of the screw. Thus four reflections in planes effect a screw transformation. The tradition of inversive geometry borrows some of the ideas of projective geometry and provides a language of transformation that does not depend on analytic geometry.
Қалталық бұрандалар
Егер кілттың бұрылу кезіндегі виртуальды жұмысы нөл болса, кілттың күші мен моменті бұрылуға қатысты шектеу күштері болып табылады. Кілт пен бұрылу өзара теңдес, яғни егер W және T бұрандалары өзара теңдес болса.
If the virtual work of a wrench on a twist is zero, then the forces and torque of the wrench are constraint forces relative to the twist. The wrench and twist are said to be reciprocal, that is if
then the screws W and T are reciprocal.
Робототехниканың жаңалықтары
Роботтық жүйелерді зерттеуде жұмыс есептеуде 6×6 матрица [Π] қажеттілігін жою үшін бұрылыстың компоненттері жиі ауыстырылады. Ол сондай-ақ эллипстік геометрияны және Кейли-Клейн метрикасымен Евклид геометриясына жаңа көзқарас ұсынды. Харви Липкин бұрандаларға қолданылатын фон Штаудт конусы мен метрикасы үшін симметриялық матрицаны пайдалануды сипаттады. Басқа да көрнекті ғалымдар: Джулиус Плюккер, В. К. Клиффорд, Ф. М. Диментберг, Кеннет Хант, Дж. Р. Филлипс. Софус Ли трансформация геометриясындағы гомография идеясын бір ғасырдан астам бұрын дамытты. Одан бұрын Уильям Роуэн Гамильтон бірлік кватерниондардың версор түрін exp(a r) = cos a + r sin a түрінде көрсетті. Бұл идея Эйлер формуласында да кездеседі, ол күрделі жазықтықтағы бірлік шеңберді параметризациялайды. Уильям Кингдон Клиффорд кинематика үшін қос кватерниондарды пайдалануды бастады, одан кейін Александр Котельников, Эдуард Студи (Динамен геометриясы) және Вильгельм Блашке. Дегенмен, Софус Лидің көзқарасы қайтадан қолданысқа енді. 1940 жылы Джулиан Кулидж "Геометриялық әдістер тарихы" кітабының 261-бетінде бұрандалы орын ауыстыру үшін қос кватерниондарды пайдалануды сипаттады. Ол 1885 жылы Артур Бухгеймнің үлесін атап өтті. Кулидж өзінің сипаттамасын Гамильтонның нақты кватерниондар үшін қолданған құралдарына негіздеді.
In the study of robotic systems the components of the twist are often transposed to eliminate the need for the 6×6 matrix [Π] in the calculation of work. He also worked out elliptic geometry, and a fresh view of Euclidean geometry, with the Cayley–Klein metric. The use of a symmetric matrix for a von Staudt conic and metric, applied to screws, has been described by Harvey Lipkin. Other prominent contributors include Julius Plücker, W. K. Clifford, F. M. Dimentberg, Kenneth H. Hunt, J. R. Phillips. The homography idea in transformation geometry was advanced by Sophus Lie more than a century ago. Even earlier, William Rowan Hamilton displayed the versor form of unit quaternions as exp(a r)= cos a + r sin a. The idea is also in Euler's formula parametrizing the unit circle in the complex plane. William Kingdon Clifford initiated the use of dual quaternions for kinematics, followed by Aleksandr Kotelnikov, Eduard Study (Geometrie der Dynamen), and Wilhelm Blaschke. However, the point of view of Sophus Lie has recurred. In 1940, Julian Coolidge described the use of dual quaternions for screw displacements on page 261 of A History of Geometrical Methods. He notes the 1885 contribution of Arthur Buchheim. Coolidge based his description simply on the tools Hamilton had used for real quaternions.