Кіріспе
Жүйенің өзге бір жүйеге қатысты конфигурациясы. Аналитикалық механикада жалпыланған координаттар – конфигурациялық кеңістікте жүйенің күйін сипаттау үшін қолданылатын параметрлер жиынтығы. Бұл параметрлер жүйенің конфигурациясын белгілі бір бастапқы күйге қатысты бірегей түрде анықтауы керек. Жалпыланған жылдамдықтар – жүйенің жалпыланған координаттарының уақыт бойынша туындылары. "Жалпыланған" деген сөз осы параметрлерді "координата" терминінің дәстүрлі мағынасынан, яғни картезиандық координаталардан ажыратады. Мысалы, маятниктің орнын оның x және y координаталары арқылы емес, вертикальға қатысты бұрышы арқылы сипаттау – жалпыланған координаттың мысалы. Физикалық жүйе үшін жалпыланған координаттарды таңдаудың көптеген мүмкіндіктері бар, бірақ олар көбінесе жүйе үшін қозғалыс теңдеулерін шешу сияқты есептеулерді жеңілдету үшін таңдалады. Егер координаталар бір-бірінен тәуелсіз болса, тәуелсіз жалпыланған координаттардың саны жүйенің еркіндік дәрежесінің санымен анықталады. Жалпыланған координаттар фазалық кеңістікте каноникалық координаттарды алу үшін жалпыланған импульстармен жұптастырылады.
In analytical mechanics, generalized coordinates are a set of parameters used to represent the state of a system in a configuration space. These parameters must uniquely define the configuration of the system relative to a reference state. The generalized velocities are the time derivatives of the generalized coordinates of the system. The adjective "generalized" distinguishes these parameters from the traditional use of the term "coordinate" to refer to Cartesian coordinates. An example of a generalized coordinate would be to describe the position of a pendulum using the angle of the pendulum relative to vertical, rather than by the x and y position of the pendulum. Although there may be many possible choices for generalized coordinates for a physical system, they are generally selected to simplify calculations, such as the solution of the equations of motion for the system. If the coordinates are independent of one another, the number of independent generalized coordinates is defined by the number of degrees of freedom of the system. Generalized coordinates are paired with generalized momenta to provide canonical coordinates on phase space.
Шектеулер мен еркіндік деңгейлері
Жалпыланған координаттар көбінесе жүйенің конфигурациясын анықтайтын тәуелсіз координаттардың ең аз санын қамтамасыз ету үшін таңдалады, бұл Лагранж қозғалыс теңдеулерін жасауды жеңілдетеді. Дегенмен, пайдалы жалпыланған координаттар жиынтығы тәуелді болуы да мүмкін, яғни олар бір немесе бірнеше шектеу теңдеулері арқылы байланысты болуы мүмкін.
Голономиялық емес шектеулер
Механикалық жүйе жалпыланған координаттар мен олардың туындыларына қатысты шектеулерді қамти алады. Мұндай шектеулер голономикалық емес деп аталады. Бірінші реттік голономикалық емес шектеулер мынадай формада болады:
Мұндай шектеудің мысалы – жылдамдық векторының бағытын шектейтін домалап жүретін дөңгелек немесе пышақ жиегі. Голономикалық емес шектеулер сондай-ақ, жалпыланған үдеулер сияқты жоғары реттік туындыларды да қамти алады.
Сымға салынған бұранда
Екі өлшемді кеңістікте тек гравитация күші әсер ететін, үйкеліссіз сыммен қозғалатын бұранда үшін, бұранданың шектеуі 1=f ('r') = 0 түрінде жазылуы мүмкін, мұнда бұранданың орны 1='r' = (x(s), y(s)) деп белгіленеді, онда s – параметр, ал s – сымның белгілі бір нүктесінен бастап қисық бойымен өлшенген доға ұзындығы. Бұл жүйе үшін жалпыланған координатты таңдаудың қолайлы тәсілі. Бұранданың орнын бір сан, s арқылы параметрлеуге болады, сондықтан екі емес, бір ғана координата қажет, ал шектеу теңдеуі екі координатаны – x және y-ті байланыстырады; олардың біреуі екіншісі арқылы анықталады. Шектеу күші – сымның бұранданы сымда ұстап тұру үшін көрсететін реакция күші, ал шектеусіз қолданылатын күш – бұрандаға әсер ететін гравитация күші. Егер сым уақыт өте келе иіліп, пішінін өзгертетін болса, онда шектеу теңдеуі мен бөлшектің орны уақытқа, t-ға тәуелді болады. Координаталар арқылы жанама түрде де, шектеу теңдеулерінде тікелей де уақыт пайда болатынын ескеріңіз.
which now both depend on time t due to the changing coordinates as the wire changes its shape. Notice time appears implicitly via the coordinates and explicitly in the constraint equations.