Кіріспе

Күштердің өзгермейтін денелерге тигізетін әсерін зерттеу

Динамика физика ғылымында, қатаң денелер динамикасы сыртқы күштер әсерімен байланысқан денелер жүйесінің қозғалысын зерттейді. Денелердің қатаң болуы (яғни, қолданылған күштердің әсерінен деформацияланбайды) деген болжам, жүйе конфигурациясын сипаттайтын параметрлерді әрбір денеге бекітілген координаттық жүйелердің орын ауысуы мен айналуына дейін азайту арқылы талдауды жеңілдетеді. Бұл сұйық, жоғары серпімді және пластикалық қасиеттер көрсететін денелерді қамтымайды. Қатаң дене жүйесінің динамикасы кинематика заңдарымен және Ньютонның екінші заңымен (кинетика) немесе оның туынды түрі – Лагранж механикасымен сипатталады. Бұл қозғалыс теңдеулерін шешу жүйедегі жеке компоненттердің орнын, қозғалысын және үдеуін, сондай-ақ жүйенің уақыт функциясы ретіндегі жалпы сипаттамасын береді. Қатаң дене динамикасын құру және шешу механикалық жүйелерді компьютерде модельдеудің маңызды құралы болып табылады.

Бағдарлау немесе ұстаным сипаттамалары

Үш өлшемді қатты дененің бағытын сипаттау үшін бірнеше әдіс әзірленді. Олар төмендегі бөлімдерде қарастырылады.

Ойлер бұрыштары

Бағытты бейнелеудің алғашқы тырысы Леонхард Эйлерге жатқызылады. Ол бір-бірінің шамасынан айнала алатын үш анықтамалық жүйені көзге елестетті және бір бекітілген анықтамалық жүйеден бастап үш айналым жасау арқылы кеңістіктегі кез келген анықтамалық жүйені алуға болатынын түсінді (бір айналым тік осьті бекіту үшін, екіншісі – қалған екі осьті бекіту үшін). Осы үш айналымның шамалары Эйлер бұрыштары деп аталады. Көбінесе прецессияны, нутацияны және ішкі айналымды белгілеу үшін қолданылады.

ТайтБрайан бұрыштары

Бұл үш бұрыш, сонымен қатар, бағыт, көлбеу және домалану бұрыштары, навигациялық бұрыштар және Кардан бұрыштары деп аталады. Математикалық тұрғыдан алғанда, олар он екі мүмкін Эйлер бұрыштары жиынтығының ішіндегі алты мүмкіндікті құрайды, және ұшақ сияқты көліктің кеңістіктегі орналасуын сипаттау үшін ең қолайлы ретте қолданылады. Аэроғарыш саласында оларды көбінесе Эйлер бұрыштары деп атайды.

Бағдарлау векторы

Ойлер екі айналудың қосылысы әртүрлі бекітілген осьтің (Ойлер айналу теоремасы) айналуына баламалы екенін де байқаған. Сондықтан, алдыңғы үш бұрыштың қосылысы тек бір айналуға тең болуы керек, оның осін матрицалар жасалғанша есептеу қиын болды. Осы фактіге негізделген ол, кез келген айналуды сипаттаудың векторлық тәсілін енгізді, онда айналу осіндегі вектордың ұзындығы бұрыш мәніне тең. Осылайша, кез келген кеңістіктік бағдарды айналу векторы (сонымен қатар Ойлер векторы деп те аталады) арқылы көрсетуге болады, ол анықтамалық жүйеден осы бағдарға жеткізеді. Бағдарды көрсету үшін қолданылғанда, айналу векторы көбінесе бағдар векторы немесе қалып векторы деп аталады. Осыған ұқсас тәсіл – ось-бұрыш көрсетуі, айналу осімен бойымен бағытталған бірлік векторды және бұрыш мәнін бөлек көрсету арқылы айналуды немесе бағдарды сипаттайды (суретті қараңыз).

Бағдарлау матрицасы

Матрицалар енгізілгеннен кейін Эйлер теоремалары қайта жазылды. Айналымдар ортогональды матрицалармен сипатталды, олар айналу матрицалары немесе бағыт косинустары матрицалары деп аталады. Ориентацияны көрсету үшін айналу матрицасы көбінесе бағдар матрицасы немесе қалып матрицасы деп аталады. Жоғарыда аталған Эйлер векторы – айналу матрицасының өзіндік векторы (айналу матрицасының бірегей нақты өзіндік мәні болады). Екі айналу матрицасының көбейтіндісі – айналымдардың композициясы. Сондықтан, бұрынғысынша, ориентацияны бастапқы координат жүйесінен қажетті координат жүйесіне айналу арқылы беруге болады. n өлшемді кеңістіктегі симметриясыз объектінің конфигурациялық кеңістігі SO(n) × Rn. Ориентацияны объектіге тиісті жанама векторлардың базисін бекіту арқылы көруге болады. Әрбір вектордың бағыты оның ориентациясын анықтайды.

Бағдарлау квартерионы

Ротацияларды сипаттаудың тағы бір жолы – версорлар деп аталатын айналу кватерниондарын қолдану. Олар айналу матрицаларымен және айналу векторларымен эквивалентті. Айналу векторларына қарағанда, оларды матрицаларға және одан кері түрлендіру оңайырақ. Бағытты көрсету үшін қолданылғанда, айналу кватерниондары көбінесе бағдар кватерниондары немесе қалып-күй кватерниондары деп аталады.

Ньютонның екінші заңы үш өлшемде

Үш өлшемді кеңістіктегі қатты денелер динамикасын қарастыру үшін Ньютонның екінші заңы, қатты дененің қозғалысы мен оған әсер ететін күштер және моменттер жүйесі арасындағы байланысты анықтау үшін кеңейтілуі керек. Ньютон бөлшек үшін екінші заңын былай формулирледі: "Дене қозғалысының өзгеруі, оған әсер ететін күшке пропорционалды және күш әсер ететін түзу сызық бойында болады". Ньютон әдетте массаны жылдамдыққа көбейтуді бөлшектің "қозғалысы" деп атағандықтан, "қозғалыстың өзгеруі" деген фраза бөлшектің массасын жылдамдануға көбейтуді білдіреді, сондықтан бұл заң әдетте F – бөлшекке әсер ететін жалғыз сыртқы күш, m – бөлшектің массасы, ал a – оның үдеу векторы ретінде жазылады. Ньютонның екінші заңын қатты денелерге қолдану қатаң бөлшектер жүйесін қарастыру арқылы жүзеге асырылады.

Қатты денеге әсер ететін күштердің виртуалды жұмысы

Қатты дене динамикасының бірнеше ыңғайлы ерекшеліктері бар баламалы формуласы, қатты денеге әсер ететін күштердің жосық жұмысын қарастыру арқылы алынады. Бір қатты денеге әртүрлі нүктелерде әсер ететін күштердің жосық жұмысын, олардың қолданылу нүктесінің жылдамдықтары және нәтижелік күш пен моментін пайдалану арқылы есептеуге болады. Мұны түсіну үшін, қатты дененің R1, R2, ..., Rn нүктелеріне F1, F2, ..., Fn күштері әсер етсін. Ri (i = 1, 2, ..., n) траекториялары қатты дененің қозғалысымен анықталады. Ri нүктелерінің траектория бойындағы жылдамдықтары:

мұнда ω – дененің бұрыштық жылдамдық векторы.

Виртуалды жұмыс принципі Д'Аламбердің формасы

Қатты денелердің механикалық жүйесінің қозғалыс теңдеулерін Д’Аламберттің виртуалды жұмыс принципінің түрі арқылы табуға болады. Виртуалды жұмыс принципі қатты денелер жүйесінің статикалық тепе-теңдігін зерттеуге қолданылады, бірақ Ньютон заңдарына үдеу шамаларын қосу арқылы бұл тәсіл динамикалық тепе-теңдікті анықтау үшін кеңейтіледі.