Кіріспе
Физикалық жүйедегі барлық объектілердің мүмкін болатын орналасу кеңістігі. Классикалық механикада жүйенің конфигурациясын анықтайтын параметрлер жалпыланған координаттар деп аталады, ал осы координаттармен анықталған кеңістік физикалық жүйенің конфигурациялық кеңістігі деп аталады. Көбінесе бұл параметрлер математикалық шектеулерге бағынады, сондықтан жүйенің нақты конфигурациялар жиыны жалпыланған координаттар кеңістігінде манифольд құрайды. Бұл манифольд жүйенің конфигурациялық манифольді деп аталады. Бұл "шектелмеген" конфигурациялық кеңістік туралы ұғым екеніне назар аударыңыз, яғни әртүрлі нүктелік бөлшектер бірдей орналасуы мүмкін. Математикада, әсіресе топологияда, көбінесе "шектелген" конфигурациялық кеңістік ұғымы қолданылады, онда "қақтығысатын" бөлшектерді көрсететін диагональдар алынып тасталады.
In classical mechanics, the parameters that define the configuration of a system are called generalized coordinates, and the space defined by these coordinates is called the configuration space of the physical system. It is often the case that these parameters satisfy mathematical constraints, such that the set of actual configurations of the system is a manifold in the space of generalized coordinates. This manifold is called the configuration manifold of the system. Notice that this is a notion of "unrestricted" configuration space, i. e. in which different point particles may occupy the same position. In mathematics, in particular in topology, a notion of "restricted" configuration space is mostly used, in which the diagonals, representing "colliding" particles, are removed.
Мысал: 3D кеңістіктегі бөлшек
Кәдімгі Евклидтік 3 кеңістікте қозғалатын бір бөлшектің орны вектормен анықталады, сондықтан оның конфигурациялық кеңістігі болып табылады. Конфигурациялық кеңістіктегі нүкте үшін символды пайдалану қалыпты жағдай; бұл классикалық механиканың Гамильтондық және Лагранж механикасында да қолданылады. Символ импульстарды білдіру үшін, ал символ жылдамдықтарды білдіру үшін қолданылады. Бөлшек белгілі бір манифольдта қозғалуға шектелуі мүмкін. Мысалы, егер бөлшек қатты байланысқа бекітіліп, координаталардың басының маңында еркін айналса, ол іс жүзінде сфера бетінде қозғалуға мәжбүр болады. Оның конфигурациялық кеңістігі – сферадағы нүктелерді анықтайтын координаттардың ішкі жиыны. Бұл жағдайда, манифольд – сфера, яғни . n байланыссыз, өзара әрекеттеспейтін нүктелік бөлшектер үшін конфигурациялық кеңістік болып табылады. Дегенмен, көбінесе бөлшектердің өзара әрекеттесетін жағдайлары қызығушылық тудырады: мысалы, олар дөңгелектер, шкивтер, домалақтар және т.б. жиынтығындағы белгілі бір орындарда болуы мүмкін, көбінесе сырғалмай қозғалуға шектеледі. Мұндай жағдайда конфигурациялық кеңістік – барлық емес, нүктелердің бола алатын рұқсат етілген орналасуларының ішкі кеңістігі (ішкі манифольды).
For n disconnected, non interacting point particles, the configuration space is In general, however, one is interested in the case where the particles interact: for example, they are specific locations in some assembly of gears, pulleys, rolling balls, etc. often constrained to move without slipping. In this case, the configuration space is not all of , but the subspace (submanifold) of allowable positions that the points can take.
Мысал: 3D кеңістіктегі қатты дене
Үш өлшемді кеңістіктегі қатты денеге бекітілген координаттық жүйенің бастапқы нүктесінің орнын және осы жүйенің бағытын анықтайтын координаттар жиынтығы оның конфигурациялық кеңістігін құрайды, бұл көбінесе символымен белгіленеді, мұнда денеге бекітілген жүйенің бастапқы нүктесінің координаттарын, ал осы жүйенің бағытын анықтайтын айналу матрицаларын көрсетеді. Қатты дененің конфигурациясы алты параметрмен сипатталады, олардың үшеуі -тан, ал үшеуі -тан алынады, және оның алты еркіндік дәрежесі бар делінеді. Осылайша, конфигурациялық кеңістік алты өлшемді болады, ал нүктесі – осы кеңістіктегі бір нүкте. Конфигурациялық кеңістіктегі нүктесінің "орналасуы" жалпыланған координаттар арқылы сипатталады; мысалы, үш координат қатты дененің массалық орталығының орнын, ал қалған үш координат оның бағытын сипаттайтын Эйлер бұрыштарын көрсете алады. Координаттарды таңдаудың қатаң ережесі жоқ; массалық орталығының орнына қатты дененің кез келген ұшы немесе соңғы нүктесін таңдауға болады, Эйлер бұрыштарының орнына кватерниондарды қолдануға болады және т.б. Дегенмен, параметрлеу жүйенің механикалық қасиеттерін өзгертпейді; барлық түрлі параметрлеулер бір (алты өлшемді) манифольдты, мүмкін болатын барлық орналасқан жерлер мен бағыттар жиынтығын сипаттайды. Кейбір параметрлеулер басқаларына қарағанда қолдануға ыңғайлырақ, және көптеген маңызды тұжырымдар координаттарға тәуелді емес түрде жасалуы мүмкін. Координаттарға тәуелді емес тұжырымдардың мысалдары: тангенциалдық кеңістік нүктелерінің жылдамдықтарына, ал котангенциалдық кеңістік моменттерге сәйкес келеді. (Жылдамдықтар мен моменттерді байланыстыруға болады; ең жалпы, абстрактілі жағдайда бұл таутологиялық бір форманың абстрактілі түсінігі арқылы жүзеге асырылады.)
Мысал: робот қолын
Көптеген қатты байланыстардан тұратын робот қолының конфигурациялық кеңістігі әр байланыстың орналасуынан тұрады (жоғарыдағы бөлімдегідей қатты дене ретінде қарастырылады), байланыстардың бір-біріне қалай бекітілгенімен және олардың рұқсат етілген қозғалыс диапазонымен шектелген. Осылайша, байланыстар үшін, жалпы кеңістік мынадай болар еді,
бірақ байланыстардың барлық түрлі бекітілулері мен шектеулері осы кеңістіктегі әрбір нүктеге жетуге мүмкіндік бермейді. Сондықтан конфигурациялық кеңістік міндетті түрде қатты дене конфигурациясы кеңістігінің кіші кеңістігі болып табылады. Дегенмен, робототехникада конфигурациялық кеңістік термині одан да қысқартылған жиынтықты – роботтың соңғы эффекторының жете алатын позициялар жиынтығын – білдіретін болса, онда холономиямен сипатталатын қиындықтар туындайды. Яғни, робот қолын белгілі бір соңғы эффект орнына жеткізудің бірнеше әртүрлі жолы болуы мүмкін, тіпті робот қолын қозғалтып, соңғы эффектті өз орнында ұстап тұруға да болады. Осылайша, кинематикада қолдануға жарамды қолдың толық сипаттамасы, барлық буындардың орналасуын және бұрыштарын көрсетуді қажет етеді, тек кейбіреулерін емес. Роботтың буындар параметрлері конфигурацияларды анықтау үшін жалпыланған координаттар ретінде қолданылады. Буындар параметрлерінің жиынтығы буындық кеңістік деп аталады. Роботтың тікелей және кері кинематикалық теңдеулері конфигурациялар мен соңғы эффектордың орналасуы арасындағы, немесе буындық кеңістік пен конфигурациялық кеңістік арасындағы байланысты анықтайды. Роботтың қозғалысын жоспарлау осы байланысты пайдаланып, буындық кеңістікте соңғы эффектордың конфигурациялық кеңістігінде қол жетімді маршрутты қамтамасыз ететін жолды табуға мүмкіндік береді.
Ресми анықтама
Классикалық механикада жүйе конфигурациясы – жүйені құрайтын барлық нүктелік бөлшектердің орны.
Фазалық кеңістік
Конфигурация кеңістігі механикалық жүйені толық сипаттауға жеткіліксіз: ол жылдамдықтарды ескере алмайды. Жүйеге қолжетімді жылдамдықтар жиынтығы жүйенің конфигурациялық көпқырлылығына жанасатын жазықтықты анықтайды. Кез келген нүктеде, сол жанама жазықтық импульс векторларымен сипатталады. Импульс векторлары – жанама жазықтықтың сызықтық функционалдары, олар котангент векторлары деп аталады; кез келген нүкте үшін, сол котангент жазықтығы деп белгіленеді. Механикалық жүйенің координаттары мен импульстары жиынтығы конфигурациялық көпқырлылықтың котангент шоғырын құрайды. Бұл кеңейтілген көпқырлылық жүйенің фазалық кеңістігі деп аталады.
Кванттық күй кеңістігі
Кванттық механикада конфигурациялық кеңістікті қолдануға болады (мысалы, Мотт проблемасын қараңыз), бірақ классикалық механиканың фазалық кеңістікке кеңейтілуі мүмкін емес. Оның орнына, кванттық күй кеңістігі деп аталатын ұқсас ұғымда өте ерекше формализмдер мен нотациялар жиынтығы қолданылады. "Нүктелі бөлшектің" аналогы күрделі проекциялық түзудегі бір нүктеге айналады, ол Блох сферасы деп те аталады. Ол күрделі, себебі кванттық механикалық толқын функциясының күрделі фазасы бар; ол проективті, өйткені толқын функциясы бірлікке нормализацияланады. Яғни, толқын функциясы берілген жағдайда, оны жалпы ықтималдықпен нормализациялауға болады, соның арқасында ол проективті болады.