Введение
Математическое формулирование векторных пар, используемых в физике (динамика жестких тел)
Теория винтов – это алгебраический расчет пар векторов, таких как угловая и линейная скорость, или силы и моменты, возникающие в кинематике и динамике жестких тел. Теория винтов предоставляет математическую формулировку геометрии линий, которая является центральной для динамики жестких тел, где линии формируют винтовые оси пространственного движения и линии действия сил. Пара векторов, формирующая координаты Плюккера прямой, определяет единичный винт, а общие винты получаются умножением на пару действительных чисел и добавлением векторов. Важные теоремы теории винтов включают: Принцип трансфера доказывает, что геометрические вычисления для точек с использованием векторов имеют аналогичные геометрические вычисления для линий, полученные заменой векторов винтами. Теорема Шейза (или теорема Чейза) доказывает, что любое изменение между двумя положениями жесткого тела может быть выполнено одним винтом. Теорема Пуансо доказывает, что вращения вокруг главных и малых, но не средних осей жесткого тела стабильны. Теория винтов является важным инструментом в механике роботов, механическом проектировании, вычислительной геометрии и динамике многотельных систем. Это отчасти связано с соотношением между винтами и двойными кватернионами, которые использовались для интерполяции движений жесткого тела. На основе теории винтов также был разработан эффективный подход к типовому синтезу параллельных механизмов (параллельных манипуляторов или параллельных роботов).
Основные понятия
Пространственное смещение жесткого тела может быть определено вращением вокруг линии и перемещением вдоль той же линии, называемым винтовым движением. Это известно как теорема Чейзла. Шесть параметров, определяющих винтовое движение, – это четыре независимые компоненты вектора Плюккера, определяющего ось винта, вместе с углом вращения вокруг этой оси и линейным перемещением вдоль неё, образующие пару векторов, называемую винтом. Для сравнения, шесть параметров, определяющих пространственное смещение, также могут быть заданы тремя углами Эйлера, определяющими вращение, и тремя компонентами вектора перемещения.
Пошел ты.
Винт — это шестимерный вектор, сконструированный из пары трехмерных векторов, таких как силы и моменты сил, а также линейной и угловой скорости, возникающих при изучении пространственного движения твердого тела. Компоненты винта определяют координаты Плюккера линии в пространстве и величину вектора вдоль этой линии, а также момент относительно этой линии.
Свернуть
Скрутка – это винт, используемый для представления скорости жесткого тела как угловой скорости вокруг оси и линейной скорости вдоль этой оси. Все точки тела имеют одинаковую составляющую скорости вдоль оси, однако чем больше расстояние от оси, тем больше скорость в плоскости, перпендикулярной этой оси. Таким образом, геликоидное поле, образованное векторами скорости в движущемся жестком теле, уплощается по мере удаления точек от оси скрутки. Точки тела, совершающего постоянное винтовое движение, описывают спирали в неподвижной системе координат. Если это винтовое движение имеет нулевой шаг, то траектории представляют собой окружности, и движение является чистым вращением. Если винтовое движение имеет бесконечный шаг, то траектории – все прямые линии, направленные в одну сторону.
Ключ
Векторы силы и момента, возникающие при применении законов Ньютона к жесткому телу, можно объединить в винт, называемый гаечным ключом (ключом). Сила имеет точку приложения и линию действия, следовательно, она определяет координаты Плюккера линии в пространстве и характеризуется нулевым шагом. Момент, с другой стороны, является чистым моментом, не привязанным к линии в пространстве, и представляет собой винт с бесконечным шагом. Отношение этих двух величин определяет шаг винта.
Шрубы отражающими
В геометрии преобразований элементарной концепцией преобразования является отражение (математика). В планарных преобразованиях сдвиг получается отражением в параллельных прямых, а вращение – отражением в паре пересекающихся прямых. Для получения винтового преобразования, исходя из подобных концепций, необходимо использовать плоскости в пространстве: параллельные плоскости должны быть перпендикулярны оси винта, которая является линией пересечения пересекающихся плоскостей, генерирующих вращение винта. Таким образом, четыре отражения в плоскостях осуществляют винтовое преобразование. Традиция инверсивной геометрии заимствует некоторые идеи проективной геометрии и предоставляет язык преобразований, не зависящий от аналитической геометрии.
Реципрочные винты
Если виртуальная работа гаечного ключа на скручивании равна нулю, то силы и момент гаечного ключа являются силами связи относительно этого скручивания. Говорят, что гаечный ключ и скручивание взаимны, то есть если
то гаечные ключи W и T взаимны.
Новые подвижки в робототехнике
В исследовании роботизированных систем компоненты скручивания часто транспонируются, чтобы избежать необходимости использования 6×6 матрицы [Π] при вычислении работы. Он также разработал эллиптическую геометрию и предложил новый взгляд на евклидову геометрию с использованием метрики Кэли-Клейна. Использование симметричной матрицы для конической и метрической формы фон Штаута, применимое к винтам, было описано Харви Липкином. Среди других известных исследователей – Юлиус Плюккер, В. К. Клиффорд, Ф. М. Диментберг, Кеннет Х. Хант, Дж. Р. Филлипс. Идею гомографии в геометрии преобразований развил Софус Ли более века назад. Ещё раньше Уильям Роуэн Гамильтон представил версорную форму единичных кватернионов в виде exp(a r) = cos a + r sin a. Эта идея также лежит в основе формулы Эйлера, параметризующей единичную окружность в комплексной плоскости. Уильям Кингдон Клиффорд начал использовать двойные кватернионы для кинематики, за ним последовали Александр Котельников, Эдуард Штуди (Geometrie der Dynamen) и Вильгельм Блашке. Однако точка зрения Софуса Ли периодически возвращается. В 1940 году Джулиан Кулидж описал применение двойных кватернионов к винтовым перемещениям на странице 261 книги «История геометрических методов». Он отмечает вклад Артура Бухгейма, сделанный в 1885 году. Кулидж основывал своё описание исключительно на инструментах, которые Гамильтон использовал для работы с действительными кватернионами.