Кіріспе

Ли алгебрасының нилпотентті субальгебрасы

Математикада Картан субальгебрасы, көбінесе CSA деп қысқартылады, – бұл Ли алгебрасының өзін-өзі қалыпқа келтіретін (егер барлық үшін , онда ) нилпотентті субальгебрасы. Оны Эли Картан докторлық диссертациясында енгізді. Ол сипаттамалық нөлдің алгебралық жабық өрісіндегі жартылай қарапайым Ли алгебрасының бейнелеу теориясын анықтайды (мысалы, ). Алгебралық жабық өрісте (мысалы, ), Картан субальгебрасы – жапсарлас эндоморфизмі жартылай қарапайым (яғни диагональдық) элементтерден тұратын максималды абельдік субальгебрасы. Кейде осы сипаттама Картан субальгебрасының анықтамасы ретінде қарастырылады. 231-бет.

Жалпы, егер субальгебра жартылай қарапайым элементтерден тұрса, онда ол торал деп аталады. Алгебралық жабық өрісте торал субальгебра автоматты түрде абельдік болады. Сондықтан, алгебралық жабық, нөлдік сипаттамасы бар өрісте Картан субальгебрасын максималды торал субальгебра ретінде де анықтауға болады. Кац-Муди алгебралары мен жалпыланған Кац-Муди алгебраларында да жартылай қарапайым Ли алгебраларының Картан субальгебраларымен бірдей рөл атқаратын субальгебралар бар (нөлдік сипаттамасы бар өрісте).

Бар болу және бірегейлігі

Картандық субальгебралар шекті өлшемді Ли алгебралары үшін бар, егер базалық өріс шексіз болса. Картан субалгебрасын құрудың бір жолы – реттелген элемент арқылы. Шекті өріс үшін, оның болу мәселесі әлі де ашық. Белгілі бір өлшемді жартылай қарапайым Ли алгебрасы үшін, нөлдік сипаттағы алгебралық жабық өріс бойынша, қарапайым тәсіл бар: анықтамасы бойынша, торалдық субальгебра – жартылай қарапайым элементтерден тұратын субальгебра (элемент жартылай қарапайым болып есептеледі, егер одан туындайтын жанама эндоморфизм диагональдық түрге келтірілсе). Онда Картан субальгебрасы – максималды торалдық субальгебрамен бірдей, ал максималды торалдық субальгебраның бар екендігін көрсету оңай. Нөлдік сипаттағы алгебралық жабық өріс үстіндегі шекті өлшемді Ли алгебрасындағы барлық Картан субальгебралары алгебраның автоморфизмдері бойынша конъюгацияланған, және әсіресе, барлығы изоморфты. Картан субальгебраның ортақ өлшемі алгебраның ранкі деп аталады. Шекті өлшемді комплекс жартылай қарапайым Ли алгебрасы үшін, компактты нақты форманың бар екендігін ескере отырып, Картан субальгебрасының болуын анықтау әлдеқайда оңай. Бұл жағдайда, оны компактты топтың максималды торының Ли алгебрасының комплекстеуі ретінде қарастыруға болады. Егер – сызықтық Ли алгебрасы (шекті өлшемді V векторлық кеңістігінің эндоморфизмдерінің Ли алгебрасының Ли субальгебрасы) алгебралық жабық өріс үстінде болса, онда кез келген Картан субальгебрасы – -ның максималды торалдық субальгебрасының централизаторы болады. Егер жартылай қарапайым болса және өріс нөлдік сипаттағы болса, онда максималды торалдық субальгебра өзін-өзі нормалайды, сондықтан ол байланысты Картан субальгебрасына тең. Егер сонымен қатар жартылай қарапайым болса, онда қосымша өкілдік -ны сызықтық Ли алгебрасы ретінде ұсынады, сондықтан -ның субальгебрасы Картан болады, егер және тек қана егер ол максималды торалдық субальгебра болса.

Мысалдар

Кез келген нильпотентті Ли алгебрасы өзінің Картан субалгебрасы болып табылады. , өрістегі матрицалардың Ли алгебрасы үшін Картан субалгебрасы – барлық диагональ матрицалардың алгебрасы. Трексіз матрицалардың арнайы Ли алгебрасы үшін Картан субалгебрасы бар, онда . Мысалы, жағдайында Картан субалгебрасы – матрицалық коммутатормен берілген Ли жақшасы бар матрицалардың субалгебрасы. іздік матрицалардың Ли алгебрасы екі конъюгацияланбас Картан субалгебрасына ие. Картан субалгебрасының өлшемі, тіпті күрделі жай Ли алгебралары үшін де, әдетте абелдік субалгебраның максималды өлшеміне тең болмайды. Мысалы, іздік матрицалардың Ли алгебрасы рангі Картан субалгебрасына ие, бірақ өлшемді максималды абелдік субалгебрасы бар, ол кез келген матрицасы бар матрицалардың барлығынан тұрады. Бұл абелдік субалгебраның Картан субалгебрасы емес екенін тікелей көруге болады, себебі ол қатаң жоғарғы үшбұрышты матрицалардың нильпотентті алгебрасына кіреді (немесе диагональ матрицалармен нормаланады).

Екілік Картан субгебрасы бар бөлшектеу

Ли алгебрасы және сипаттамасы белгілі бір өріс пен берілген Ли алгебрасының бейнеленуі болғанда, Ли алгебрасының Картан субалгебрасынан бөлінуімен байланысты бір бөліну пайда болады. Егер біз , салмақ үшін салмақ кеңістігі деп аталатын салмақты белгілесек, онда бейнелеу осы салмақ кеңістіктері арқылы бөлінеді. Соған қоса, егер онда біз оны бейнелеудің салмағы деп атаймыз.

Салмақты пайдалану арқылы азайтылмайтын бейнелеулерді жіктеу

Бірақ, осы салмақтарды Ли алгебрасының ирредуктибелді бейнелеулерін жіктеуге болады. Кез келген шекті өлшемді ирредуктибелді бейнелеу үшін, салмақтардың ішінен белгілі бір реттеу бойынша бірегей салмақ табылады. Сондай-ақ, кез келген оң түбір үшін, сәйкес келетін бірегей ирредуктибелді бейнелеу болады. Демек, түбірлік жүйе pg 240 бойынша бейнелеу теориясы туралы толыққанды ақпаратты қамтиды.

Картон субгебрасын бөлу

Алгебралық жабық емес өрістерде барлық Картан субальгебралары конъюгат емес. Маңызды классы – бөлінетін Картан субальгебралары: егер Ли алгебрасы бөлінетін Картан субальгебрасын қабылдаса, онда ол бөлінетін болады, ал жұп – бөлінетін Ли алгебрасы деп аталады; алгебралық жабық өрісте кез келген жартылай қарапайым Ли алгебрасы бөлінетін болады. Кез келген екі бөлінетін Картан субальгебрасы конъюгат болып табылады және олар алгебралық жабық өрістердегі жартылай қарапайым Ли алгебраларындағы Картан субальгебралары сияқты функцияны орындайды, сондықтан бөлінетін жартылай қарапайым Ли алгебралары (іс жүзінде, бөлінетін редуктивті Ли алгебралары) алгебралық жабық өрістердегі жартылай қарапайым Ли алгебраларымен көптеген қасиеттерді бөліседі. Бірақ алгебралық жабық емес өрісте әрбір жартылай қарапайым Ли алгебрасы бөлінетін болып табылмайды.

Картонның кіші топтарының мысалдары

GL₂(R)-дегі диагональдық матрицалардан құралған кіші топ.