Введение

Нилпотентная субальгебра алгебры Ли

В математике, субальгебра Картана, часто сокращаемая как CSA, является нилпотентной субальгеброй алгебры Ли, которая самонормализуется (если для всех , то ). Она была введена Эли Картаном в его докторской диссертации. Она управляет теорией представлений полупростой алгебры Ли над полем характеристики . В конечномерной полупростой алгебре Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики ноль (например, ), субальгебра Картана совпадает с максимальной абелевой субальгеброй, состоящей из элементов x, таких что сопряжённый эндоморфизм является полупростым (т.е. диагонализуемым). Иногда эта характеристика принимается просто за определение субальгебры Картана. В общем случае, субальгебра называется торальной, если она состоит из полупростых элементов. Над алгебраически замкнутым полем торальная субальгебра автоматически является абелевой. Таким образом, над алгебраически замкнутым полем характеристики ноль, субальгебра Картана также может быть определена как максимальная торальная субальгебра. Алгебры Каца — Муди и обобщённые алгебры Каца — Муди также имеют субальгебры, которые играют ту же роль, что и субальгебры Картана полупростых алгебр Ли (над полем характеристики ноль).

Существование и уникальность

Субальгебры Картана существуют для алгебр Ли конечной размерности, когда базовое поле бесконечно. Один из способов построения субальгебры Картана — использование регулярного элемента. Для конечного поля вопрос о существовании остаётся открытым. Для полупростой алгебры Ли конечной размерности над алгебраически замкнутым полем характеристики ноль существует более простой подход: по определению, торальная субальгебра — это субальгебра, состоящая из полупростых элементов (элемент является полупростым, если индуцируемый им сопряжённый эндоморфизм диагонализуем). Субальгебра Картана тогда является тем же самым, что и максимальная торальная субальгебра, и существование максимальной торальной субальгебры легко доказать. В алгебре Ли конечной размерности над алгебраически замкнутым полем характеристики ноль все субальгебры Картана сопряжены посредством автоморфизмов алгебры и, в частности, изоморфны. Общая размерность субальгебры Картана называется рангом алгебры. Для комплексной полупростой алгебры Ли конечной размерности существование субальгебры Картана гораздо проще установить, предполагая существование компактной вещественной формы. В этом случае её можно принять за комплексификацию алгебры Ли максимального тора компактной группы. Если является линейной алгеброй Ли (субальгеброй алгебры Ли эндоморфизмов векторного пространства V конечной размерности) над алгебраически замкнутым полем, то любая субальгебра Картана является централизатором максимальной торальной субальгебры. Если полупроста и поле имеет характеристику ноль, то максимальная торальная субальгебра самонормализуется и, следовательно, равна соответствующей субальгебре Картана. Если дополнительно полупроста, то сопряжённое представление представляет её как линейную алгебру Ли, так что субальгебра является субальгеброй Картана тогда и только тогда, когда это максимальная торальная субальгебра.

Примеры

Любая нильпотентная алгебра Ли является собственной субальгеброй Картана. Субальгебра Картана алгебры Ли матриц над полем является алгеброй всех диагональных матриц. Для специальной алгебры Ли без следа, она имеет субальгебру Картана, где . Например, в субальгебре Картана является субальгебра матриц, скобка Ли которой задается матричным коммутатором. Алгебра Ли матриц размера с трассой имеет две не сопряженные субальгебры Картана. Размер субальгебры Картана не является, вообще говоря, максимальным размером абелевой субальгебры, даже для комплексных простых алгебр Ли. Например, алгебра Ли матриц размера с трассой имеет субальгебру Картана ранга , но имеет максимальную абелеву субальгебру размерности , состоящую из всех матриц вида , где – произвольная матрица размера . Можно непосредственно видеть, что эта абелева субальгебра не является субальгеброй Картана, поскольку она содержится в нильпотентной алгебре строго верхнетреугольных матриц (или, поскольку она нормализуется диагональными матрицами).

Декомпозиция представлений с помощью двойной картанской субагебры

При заданной алгебре Ли над полем характеристики *p* и представлении алгебры Ли, существует разложение, связанное с разложением алгебры Ли по ее картеровской подалгебре. Если мы определим с , называемое весовым пространством для веса , то представление раскладывается на сумму этих весовых пространств. Кроме того, если , то мы называем весом представления.

Классификация неснижаемых представлений с использованием весов

Но, оказывается, эти веса можно использовать для классификации неприводимых представлений алгебры Ли. Для конечномерного неприводимого представления существует единственный вес относительно частичного порядка на . Более того, для любого веса , такого что для каждого положительного корня , существует единственное неприводимое представление. Это означает, что корневая система содержит всю информацию о теории представлений. pg 240

Разделение картонской субагебры

Не все субальгебры Картана сопряжены. Важным классом являются расщепляющие картанские субальгебры: если алгебра Ли допускает расщепляющую картанскую субальгебру, то она называется расщепляемой, а пара – расщепляемой алгеброй Ли; над алгебраически замкнутым полем каждая полупростая алгебра Ли является расщепляемой. Любые две расщепляющие картанские субальгебры сопряжены и выполняют аналогичную функцию картанских субальгебр в полупростых алгебрах Ли над алгебраически замкнутыми полями, поэтому расщепляемые полупростые алгебры Ли (и даже расщепляемые редуктивные алгебры Ли) обладают многими свойствами, общими для полупростых алгебр Ли над алгебраически замкнутыми полями. Однако над неалгебраически замкнутым полем не каждая полупростая алгебра Ли является расщепляемой.

Примеры подгрупп картона

Подгруппа в GL2(R), состоящая из диагональных матриц.