Геометрия: қималар – 3D нысандарды жазықтықтармен кесіп, ішкі құрылымын 2D-де көрсету. Техникалық суреттемеде маңызды құрал, материалдарды анықтауға көмектеседі.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Геометриялық ұғым
Geometrical concept
Геометрия және ғылымда қима – үш өлшемді кеңістіктегі қатты дененің жазықтықпен қиылысы немесе жоғары өлшемді кеңістіктердегі осыған ұқсас түсінік. Объектіні тілімдерге бөлу арқылы көптеген параллель қималар жасалады. Үш өлшемді кеңістіктегі қиманың шекарасы, екі оське параллель, яғни осы осьтер анықтайтын жазықтыққа параллель болса, кейде контур сызығы деп аталады; мысалы, егер жазықтық жоғары рельефті картадағы тауларды жер бетіне параллель кесіп өтсе, нәтижесінде тау бетіндегі бірдей биіктіктегі нүктелерді көрсететін екі өлшемді кеңістікте контур сызығы пайда болады. Техникалық суреттемелерде қима – объектіні қиып өтетін жазықтыққа түсірілген проекция болып табылады және үш өлшемді объектінің ішкі құрылымын екі өлшемде көрсету үшін қолданылатын кең таралған құрал. Ол әдетте, қолданылатын материалдардың түрлерін көрсететін қиылыс стилімен белгіленеді. Компьютерлік осьтік томографияда компьютерлер рентген сәулелерінен алынған деректер бойынша қималарды жасай алады.
In geometry and science, a cross section is the non empty intersection of a solid body in three dimensional space with a plane, or the analog in higher dimensional spaces. Cutting an object into slices creates many parallel cross sections. The boundary of a cross section in three dimensional space that is parallel to two of the axes, that is, parallel to the plane determined by these axes, is sometimes referred to as a contour line; for example, if a plane cuts through mountains of a raised relief map parallel to the ground, the result is a contour line in two dimensional space showing points on the surface of the mountains of equal elevation. In technical drawing a cross section, being a projection of an object onto a plane that intersects it, is a common tool used to depict the internal arrangement of a 3 dimensional object in two dimensions. It is traditionally crosshatched with the style of crosshatching often indicating the types of materials being used. With computed axial tomography, computers can construct cross sections from x ray data.
Анықтама
Егер жазықтық қатты денемен (3 өлшемді нысан) қиылысса, онда жазықтық пен қатты денеге ортақ аймақ сол қатты дененің қимасы деп аталады. Қатты дененің қимасын қамтитын жазықтық кесу жазықтығы деп аталуы мүмкін. Қатты дененің қимасының пішіні кесу жазықтығының қатты денеге қатысты бағытына байланысты өзгеруі мүмкін. Мысалы, шардың барлық қималары дөңгелек болса, текше қималары кесу жазықтығының текшеге қалай орналасқанына байланысты. Егер кесу жазықтығы текшенің қарама-қарсы екі бетінің ортасын қосатын түзуге перпендикуляр болса, қима төртбұрыш болады, ал егер кесу жазықтығы текшенің қарама-қарсы бұрыштарын қосатын диагоналіне перпендикуляр болса, қима нүкте, үшбұрыш немесе алтыбұрыш болуы мүмкін.
If a plane intersects a solid (a 3 dimensional object), then the region common to the plane and the solid is called a cross section of the solid. A plane containing a cross section of the solid may be referred to as a cutting plane. The shape of the cross section of a solid may depend upon the orientation of the cutting plane to the solid. For instance, while all the cross sections of a ball are disks, the cross sections of a cube depend on how the cutting plane is related to the cube. If the cutting plane is perpendicular to a line joining the centers of two opposite faces of the cube, the cross section will be a square, however, if the cutting plane is perpendicular to a diagonal of the cube joining opposite vertices, the cross section can be either a point, a triangle or a hexagon.
Ұшақ секциялары
Бұған байланысты ұғым – жазықтық қима, яғни жазықтықтың бетпен қиылысу сызығы. Осылайша, жазықтық қимасы – кесу жазықтығындағы қатты дене қимасының шекарасы. Егер үш өлшемді кеңістіктегі бет екі айнымалының функциясымен анықталса, яғни z = f(x, y), координаттық жазықтыққа параллель (екі координаттық осьпен анықталатын жазықтық) кесу жазықтықтары арқылы алынған жазықтық қималары деңгей сызықтары немесе изолиндер деп аталады. Нақтырақ айтқанда, z = k (xy жазықтығына параллель жазықтықтар) түріндегі теңдеулермен кесу нәтижесінде көбінесе контурлық сызықтар деп аталатын жазықтық қималары пайда болады.
A related concept is that of a plane section, which is the curve of intersection of a plane with a surface. Thus, a plane section is the boundary of a cross section of a solid in a cutting plane. If a surface in a three dimensional space is defined by a function of two variables, i. e., 1=z = f(x, y), the plane sections by cutting planes that are parallel to a coordinate plane (a plane determined by two coordinate axes) are called level curves or isolines. More specifically, cutting planes with equations of the form 1=z = k (planes parallel to the xy plane) produce plane sections that are often called contour lines in application areas.
Көлденең қималар мен жазық қималардың математикалық мысалдары
Көпбұрыштың қимасы көпбұрыш болады. Конустық қималар – шеңберлер, эллипстер, параболалар және гиперболалар – сол жақтағы диаграммада көрсетілгендей, әртүрлі бұрыштарда кесу жазықтықтары бар конустың жазықтық қималары. Эллипсоидтың ортасынан өтетін кез келген қима эллипстік аймақты құрайды, ал тиісті жазықтық қималар оның бетінде эллипс болып табылады. Бұлар кесу жазықтықтары симметрия осьтеріне перпендикуляр болғанда тиісінше дискілер мен шеңберлерге айналады. Жалпы алғанда, квадриктің жазық қималары конус қималары болып табылады. Екі негіздің арасында орналасқан толық дөңгелек цилиндрдің қимасы, егер қимасы цилиндрдің негізіне параллель болса, диск болып табылады, немесе егер ол негізге параллель немесе перпендикуляр болмаса, эллипстік аймақ (оң жақтағы диаграмманы қараңыз). Егер кесу жазықтығы негізге перпендикуляр болса, онда ол тіктөртбұрыштан тұрады (көрсетілмейді), егер ол цилиндрге тек қана жанаспаса, бұл жағдайда ол бір сызық сегменті болып табылады. Цилиндр термині қатты цилиндрдің бүйір бетін де білдіре алады (цилиндр (геометрия) дегенді қараңыз). Егер цилиндр осы мағынада қолданылса, жоғарыдағы абзац мынадай түрде оқылады: Шекті ұзындығы бар дөңгелек цилиндрдің жазық қимасы, егер кесу жазықтығы цилиндрдің симметрия осьтеріне перпендикуляр болса, немесе егер ол сол оське параллель де, перпендикуляр да болмаса, эллипс болып табылады. Егер кесу жазықтығы оське параллель болса, онда жазықтық қимасы параллель сызық сегменттерінің жұбынан тұрады, егер кесу жазықтығы цилиндрге жанаспаса, онда жазықтық қимасы бір сызық сегменті болып табылады. Жазық қима функцияның аргументтерінің біріне қатысты оның ішінара туындысын бейнелеу үшін пайдаланылуы мүмкін. 1=z = f(x, y) деп есептейік. f(x, y) функциясының x-ке қатысты ішінара туындысын алу кезінде f функциясының y-дің тұрақты мәніндегі жазық қимасын алып, z деңгейінің қисығын тек x-ке қатысты сызу үшін; содан кейін x-ке қатысты ішінара туындысы екі өлшемді графиктің еңістігі болып табылады.
A cross section of a polyhedron is a polygon. The conic sections – circles, ellipses, parabolas, and hyperbolas – are plane sections of a cone with the cutting planes at various different angles, as seen in the diagram at left. Any cross section passing through the center of an ellipsoid forms an elliptic region, while the corresponding plane sections are ellipses on its surface. These degenerate to disks and circles, respectively, when the cutting planes are perpendicular to a symmetry axis. In more generality, the plane sections of a quadric are conic sections. A cross section of a solid right circular cylinder extending between two bases is a disk if the cross section is parallel to the cylinder's base, or an elliptic region (see diagram at right) if it is neither parallel nor perpendicular to the base. If the cutting plane is perpendicular to the base it consists of a rectangle (not shown) unless it is just tangent to the cylinder, in which case it is a single line segment. The term cylinder can also mean the lateral surface of a solid cylinder (see cylinder (geometry)). If a cylinder is used in this sense, the above paragraph would read as follows: A plane section of a right circular cylinder of finite length is a circle if the cutting plane is perpendicular to the cylinder's axis of symmetry, or an ellipse if it is neither parallel nor perpendicular to that axis. If the cutting plane is parallel to the axis the plane section consists of a pair of parallel line segments unless the cutting plane is tangent to the cylinder, in which case, the plane section is a single line segment. A plane section can be used to visualize the partial derivative of a function with respect to one of its arguments, as shown. Suppose 1=z = f(x, y). In taking the partial derivative of f(x, y) with respect to x, one can take a plane section of the function f at a fixed value of y to plot the level curve of z solely against x; then the partial derivative with respect to x is the slope of the resulting two dimensional graph.
Тіркелген тақырыптарда
Екі кездейсоқ айнымалының ықтималдық тығыздық функциясының бір айнымалысының белгілі бір мәнінен өткен жазықтық қимасы, екінші айнымалының шартты тығыздық функциясы болып табылады (қиманы анықтайтын белгілі мәнге шартты). Егер қима тығыздықтың белгілі бір мәнінен алынса, нәтижесі – тең тығыздық контуры болады. Нормалды таралым үшін бұл контурлар эллипс түрінде болады. Экономикада f(x, y) өндіріс функциясы еңбек және физикалық капитал сияқты кірістердің x және y мөлшерімен қандай өнім алуға болатынын көрсетеді. Кәсіпорынның немесе қоғамның өндіріс функциясын үш өлшемді кеңістікте бейнелеуге болады. Егер xy жазықтығына параллель қима алынса, нәтижесі – изоквант болады, ол еңбек пен капиталдың әртүрлі комбинацияларын көрсетеді, ал қиманың биіктігі берілген өнім деңгейін көрсетеді. Егер өндіріс функциясының қимасы y-дің белгілі бір деңгейінде, яғни xz жазықтығына параллель алынса, нәтижесі – екі өлшемді график болады, ол бір кіріс x-тің әртүрлі қолданылу деңгейлерінде, екінші кіріс y-тің белгілі бір мәнімен қанша өнім алуға болатынын көрсетеді. Экономикада кардиналдық немесе ординалдық пайдалылық функциясы u(w, v) екі тауардың w және v мөлшерін тұтыну арқылы тұтынушының алатын қанағат деңгейін көрсетеді. Пайдалылық функциясының белгілі бір биіктікте (пайдалылық деңгейінде) алынған жазық қимасы екі өлшемді нәтиже – бейтараптық қисық болады, ол екі тауардың w және v мөлшерінің әртүрлі баламалы комбинацияларын көрсетеді, олардың барлығы көрсетілген пайдалылық деңгейін береді.
A plane section of a probability density function of two random variables in which the cutting plane is at a fixed value of one of the variables is a conditional density function of the other variable (conditional on the fixed value defining the plane section). If instead the plane section is taken for a fixed value of the density, the result is an iso density contour. For the normal distribution, these contours are ellipses. In economics, a production function f(x, y) specifies the output that can be produced by various quantities x and y of inputs, typically labor and physical capital. The production function of a firm or a society can be plotted in three dimensional space. If a plane section is taken parallel to the xy plane, the result is an isoquant showing the various combinations of labor and capital usage that would result in the level of output given by the height of the plane section. Alternatively, if a plane section of the production function is taken at a fixed level of y—that is, parallel to the xz plane—then the result is a two dimensional graph showing how much output can be produced at each of various values of usage x of one input combined with the fixed value of the other input y. Also in economics, a cardinal or ordinal utility function u(w, v) gives the degree of satisfaction of a consumer obtained by consuming quantities w and v of two goods. If a plane section of the utility function is taken at a given height (level of utility), the two dimensional result is an indifference curve showing various alternative combinations of consumed amounts w and v of the two goods all of which give the specified level of utility.
Аумағы мен көлемі
Кавальери принципі бойынша, сәйкес көлденең қималарының аудандары тең болатын қатты денелердің көлемдері тең болады. Белгілі бір бұрыштан қарағанда дененің көлденең қимасының ауданы – сол бұрыштан дененің орфографиялық проекциясының жалпы ауданы. Мысалы, биіктігі h және радиусы r цилиндрінің орталық осі бойымен қарағанда және ортогональ бағыттан қарағанда . Радиусы r сфера кез келген бұрыштан қарағанда . Жалпы жағдайда, келесі беттік интегралды есептеу арқылы анықтауға болады:
Cavalieri's principle states that solids with corresponding cross sections of equal areas have equal volumes. The cross sectional area of an object when viewed from a particular angle is the total area of the orthographic projection of the object from that angle. For example, a cylinder of height h and radius r has when viewed along its central axis, and when viewed from an orthogonal direction. A sphere of radius r has when viewed from any angle. More generically, can be calculated by evaluating the following surface integral:
мұнда – көру бағытындағы бірлік вектор, көрерменге қарай бағытталған, – сыртқа қарай нормальға ие бет элементі, ал интеграл тек ең үстіңгі беттен, көрерменнің көзқарасынан «көрінетін» бет бөлігінен алынады. Дөңес дене үшін, көрерменнің көзқарасынан дененің ішіндегі әрбір сәуле тек екі бетті ғана кесіп өтеді. Мұндай денелер үшін интегралды интегралдың абсолюттік мәнін алып (дененің «жоғарғы» және «төменгі» бөліктері бірін-біріңізден қысқартылмайды, себебі тұрақты векторлық өріске қолданылатын Дивергенция теоремасы осыны талап етеді) және екіге бөліп, бүкіл беті бойынша алуға болады:
where is the unit vector pointing along the viewing direction toward the viewer, is a surface element with an outward pointing normal, and the integral is taken only over the top most surface, that part of the surface that is "visible" from the perspective of the viewer. For a convex body, each ray through the object from the viewer's perspective crosses just two surfaces. For such objects, the integral may be taken over the entire surface by taking the absolute value of the integrand (so that the "top" and "bottom" of the object do not subtract away, as would be required by the Divergence Theorem applied to the constant vector field ) and dividing by two:
Жоғары өлшемдер
Қатты дененің қимасына ұқсас, n өлшемді кеңістіктегі n өлшемді дененің қимасы – дененің гипержазықпен (n − 1 өлшемді кіші кеңістік) жасаған бос емес қиылысы болып табылады. Бұл түсінік кейде жоғары өлшемді кеңістіктердің кейбір жақтарын көруге көмектеседі. Мысалы, егер төрт өлшемді дене үш өлшемді кеңістіктен өтіп өтетін болса, біз сол төрт өлшемді дененің үш өлшемді қимасын көреміз. Атап айтқанда, 3 кеңістік арқылы өтетін 4 шар (гиперсфера) 3 шар түрінде көрінеді, ол максималды өлшемге жеткен соң, өту кезінде кішірейе бастайды. Бұл динамикалық дене (3 кеңістіктен қарағанда) – 4 шардың қималарының тізбегі.
In analogy with the cross section of a solid, the cross section of an n dimensional body in an n dimensional space is the non empty intersection of the body with a hyperplane (an (n − 1) dimensional subspace). This concept has sometimes been used to help visualize aspects of higher dimensional spaces. For instance, if a four dimensional object passed through our three dimensional space, we would see a three dimensional cross section of the four dimensional object. In particular, a 4 ball (hypersphere) passing through 3 space would appear as a 3 ball that increased to a maximum and then decreased in size during the transition. This dynamic object (from the point of view of 3 space) is a sequence of cross sections of the 4 ball.
Ғылымдағы мысалдар
Геологияда планетаның ішкі құрылымы көбінесе планетаның ортасынан өтетін қимасының схемасы арқылы көрсетіледі, мысалы, оң жақтағы Жер қимасындағыдай. Анатомияда қималар органның ішкі құрылымын көрсету үшін жиі қолданылады, сол жақтағы суретте көрсетілгендей. Ағаш діңінің көлденең қимасы, сол жақтағыдай, өсу сақиналарын ашады, олар ағаш жасын және оның өмір сүрген ортаның уақытша ерекшеліктерін анықтауға мүмкіндік береді.
In geology, the structure of the interior of a planet is often illustrated using a diagram of a cross section of the planet that passes through the planet's center, as in the cross section of Earth at right. Cross sections are often used in anatomy to illustrate the inner structure of an organ, as shown at the left. A cross section of a tree trunk, as shown at left, reveals growth rings that can be used to find the age of the tree and the temporal properties of its environment.