Введение
Геометрическое понятие
В геометрии и науке, сечение — это непустое пересечение твердого тела в трехмерном пространстве с плоскостью, или аналогичное понятие в пространствах более высокой размерности. Разрезание объекта на срезы создает множество параллельных сечений. Граница сечения в трехмерном пространстве, параллельного двум осям, то есть параллельного плоскости, определяемой этими осями, иногда называется линией контура; например, если плоскость пересекает горы на рельефной карте, параллельно поверхности земли, результатом является линия контура в двухмерном пространстве, показывающая точки на поверхности гор с одинаковой высотой. В техническом черчении сечение, являющееся проекцией объекта на пересекающую его плоскость, является распространенным инструментом для изображения внутреннего устройства трехмерного объекта в двух измерениях. Традиционно сечения штрихуются, причем стиль штриховки часто указывает на типы используемых материалов. С помощью компьютерной аксиальной томографии компьютеры могут восстанавливать сечения на основе данных рентгеновского излучения.
Определение
Если плоскость пересекает тело (трехмерный объект), то область, общая для плоскости и тела, называется сечением тела. Плоскость, содержащая сечение тела, может называться секущей плоскостью. Форма сечения тела может зависеть от ориентации секущей плоскости относительно тела. Например, все сечения шара – это круги, а сечения куба зависят от взаимного расположения секущей плоскости и куба. Если секущая плоскость перпендикулярна прямой, соединяющей центры двух противоположных граней куба, то сечение будет квадратом, однако, если секущая плоскость перпендикулярна диагонали куба, соединяющей противоположные вершины, то сечение может быть точкой, треугольником или шестиугольником.
Равные секции
Связанное понятие — это плоскостное сечение, представляющее собой кривую пересечения плоскости с поверхностью. Таким образом, плоскостное сечение является границей поперечного сечения тела на секущей плоскости. Если поверхность в трехмерном пространстве задана функцией двух переменных, то есть z = f(x, y), то сечения, полученные секущими плоскостями, параллельными координатной плоскости (плоскости, определяемой двумя координатными осями), называются линиями уровня или изолиниями. В частности, секущие плоскости с уравнениями вида z = k (плоскости, параллельные плоскости xy) дают сечения, которые часто называют контурными линиями в прикладных областях.
Математические примеры поперечных сечений и плоских сечений
Поперечное сечение многогранника – это многоугольник. Конические сечения – окружности, эллипсы, параболы и гиперболы – являются плоскими сечениями конуса, полученными при пересечении режущими плоскостями под различными углами, как показано на диаграмме слева. Любое поперечное сечение, проходящее через центр эллипсоида, образует эллиптическую область, а соответствующие плоские сечения представляют собой эллипсы на его поверхности. Они вырождаются в диски и окружности, соответственно, когда режущие плоскости перпендикулярны оси симметрии. В более общем случае, плоские сечения квадрики являются коническими сечениями. Поперечное сечение твердого прямого кругового цилиндра, ограниченного двумя основаниями, представляет собой диск, если сечение параллельно основанию цилиндра, или эллиптическую область (см. диаграмму справа), если оно не параллельно и не перпендикулярно основанию. Если режущая плоскость перпендикулярна основанию, она состоит из прямоугольника (не показано), если только она не касается цилиндра, в этом случае сечение представляет собой единственный отрезок прямой. Термин «цилиндр» также может означать боковую поверхность твердого цилиндра (см. цилиндр (геометрия)). Если цилиндр используется в этом смысле, вышеуказанный абзац следует читать так: плоское сечение прямого кругового цилиндра конечной длины является окружностью, если режущая плоскость перпендикулярна оси симметрии цилиндра, или эллипсом, если она не параллельна и не перпендикулярна этой оси. Если режущая плоскость параллельна оси, то плоское сечение состоит из пары параллельных отрезков прямой, за исключением случая, когда режущая плоскость касается цилиндра, в этом случае плоское сечение представляет собой единственный отрезок прямой. Плоское сечение можно использовать для визуализации частной производной функции по одному из ее аргументов, как показано. Предположим, что 1 = z = f(x, y). При вычислении частной производной f(x, y) по x можно взять плоское сечение функции f при фиксированном значении y, чтобы построить линию уровня z, зависящую только от x; тогда частная производная по x является наклоном полученного двумерного графика.
В смежных предметах
Плоское сечение функции плотности вероятности двух случайных переменных, в котором секущая плоскость проходит на фиксированном уровне одной из переменных, является условной функцией плотности другой переменной (при условии фиксированного значения, определяющего это сечение). Если же сечение берется для фиксированного значения плотности, то результатом является изоденситный контур. Для нормального распределения эти контуры представляют собой эллипсы. В экономике производственная функция f(x, y) определяет объем выпуска, который можно получить при использовании различных количеств x и y ресурсов, как правило, труда и физического капитала. Производственную функцию фирмы или общества можно изобразить в трехмерном пространстве. Если сечение плоскостью проведено параллельно плоскости xy, то получается изокванта, показывающая различные комбинации использования труда и капитала, приводящие к уровню выпуска, определяемому высотой сечения. В качестве альтернативы, если сечение производственной функции взято на фиксированном уровне y – то есть, параллельно плоскости xz – то результатом является двумерный график, показывающий, какой объем выпуска можно получить при каждом из различных значений использования x одного ресурса в сочетании с фиксированным значением другого ресурса y. Также в экономике кардинальная или ординальная функция полезности u(w, v) показывает степень удовлетворения потребителя от потребления количеств w и v двух товаров. Если сечение функции полезности взято на заданной высоте (уровне полезности), то двумерный результат представляет собой кривую безразличия, показывающую различные альтернативные комбинации потребляемых количеств w и v двух товаров, все из которых обеспечивают указанный уровень полезности.
Площадь и объем
Принцип Кавальери гласит, что тела с соответствующими поперечными сечениями равной площади имеют равные объемы. Площадь поперечного сечения объекта при взгляде с определенного угла – это общая площадь ортографической проекции объекта с этого угла. Например, цилиндр высоты h и радиуса r имеет при рассматривании вдоль своей центральной оси и при рассматривании в ортогональном направлении. Сфера радиуса r имеет при взгляде с любого угла. В более общем случае, площадь поперечного сечения может быть рассчитана путем вычисления следующего поверхностного интеграла:
где – единичный вектор, направленный вдоль направления обзора к наблюдателю, – элемент поверхности с внешним нормальным вектором, а интеграл берется только по верхней части поверхности, то есть по той части поверхности, которая "видима" с точки зрения наблюдателя. Для выпуклого тела каждый луч, проходящий через объект от наблюдателя, пересекает ровно две поверхности. Для таких объектов интеграл можно взять по всей поверхности , взяв абсолютное значение подынтегрального выражения (чтобы "верхняя" и "нижняя" части объекта не вычитались друг из друга, как это потребовалось бы при применении теоремы дивергенции к постоянному векторному полю) и разделив на два:
В более высоких измерениях
По аналогии с поперечным сечением твердого тела, поперечное сечение n-мерного тела в n-мерном пространстве представляет собой непустое пересечение этого тела с гиперплоскостью (подпространством размерности (n − 1)). Эта концепция иногда используется для визуализации аспектов пространств более высоких размерностей. Например, если бы четырехмерный объект проходил сквозь наше трехмерное пространство, мы бы увидели трехмерное сечение этого четырехмерного объекта. В частности, 4-шар (гиперсфера), проходящий через трехмерное пространство, выглядел бы как 3-шар, который увеличивался бы до максимального размера, а затем уменьшался бы в процессе прохождения. Этот динамический объект (с точки зрения трехмерного пространства) является последовательностью поперечных сечений 4-шара.
Примеры в науке
В геологии структура внутреннего строения планеты часто иллюстрируется диаграммой, изображающей поперечное сечение планеты, проходящее через её центр, как, например, на поперечном сечении Земли, представленном справа. В анатомии поперечные сечения часто используются для иллюстрации внутреннего строения органа, как показано слева. Поперечное сечение ствола дерева, представленное слева, показывает годичные кольца, которые можно использовать для определения возраста дерева и характеристик окружающей среды в разные периоды времени.