Кіріспе

Белгілі бір бастапқы нүктеге қатысты нүктенің орнын көрсететін вектор. Геометрияда, орналасу векторы, сондай-ақ координаталық вектор немесе радиус-вектор деп аталатын бұл вектор кеңістіктегі P нүктесін көрсетеді. Оның ұзындығы кез келген бастапқы нүкте O-ға қатысты қашықтықты, ал бағыты берілген координат осьтеріне қатысты бұрыштық бағитты көрсетеді. Әдетте x, r немесе s арқылы белгіленеді және O нүктесінен P нүктесіне дейінгі түзу сызық кесіндісіне сәйкес келеді. Басқаша айтқанда, бұл бастапқы нүктені P нүктесіне бейімдейтін орын ауыстыру немесе жылжу. Орналасу векторы термині көбінесе дифференциалдық геометрия, механика және кейде векторлық есептеу салаларында қолданылады. Көбінесе екі өлшемді немесе үш өлшемді кеңістікте қолданылса да, оны кез келген өлшемдегі Евклид кеңістіктеріне және аффиндік кеңістіктерге оңай жалпылауға болады.

n өлшемдері

Сызықтық алгебра n өлшемді позициялық векторды абстракциялауға мүмкіндік береді. Позициялық вектор негізгі векторлардың сызықтық комбинациясы ретінде өрнектелуі мүмкін:

Барлық позициялық векторлардың жиынтығы позициялық кеңістікті құрайды (элементтері позициялық векторлар болатын векторлық кеңістік), себебі позицияларды қосу (векторлық қосылу) және ұзындығын өзгерту (скалярлық көбейту) арқылы кеңістіктегі басқа позициялық вектор алуға болады. "Кеңістік" түсінігі интуитивті, өйткені әр xi (i = 1, 2, …, n) кез келген мәнге ие болуы мүмкін, ал мәндердің жиынтығы кеңістіктегі нүктені анықтайды. Позициялық кеңістіктің өлшемі n (сондай-ақ dim(R) = n деп белгіленеді). r векторының негізгі векторларға қатысты координаталары – xi. Координаттар векторы координаттар векторы немесе n-тік (x1, x2, …, xn) түрінде болады. Әрбір xi координатасы t параметрлерінің бірнешеуі арқылы параметрленуі мүмкін. Бір параметр xi(t) қисық 1D жолды сипаттайды, екі параметр xi(t1, t2) қисық 2D бетті сипаттайды, үш параметр xi(t1, t2, t3) қисық 3D кеңістіктің көлемін сипаттайды, және т.с.с. Негіздік жиынның сызықтық жайлысы B = {e1, e2, …, en} позициялық кеңістік R-ге тең, span(B) = R деп белгіленеді.

Дифференциалдық геометрия

Позициялық векторлық өрістер үздіксіз және дифференциалданатын кеңістік қисықтарын сипаттау үшін қолданылады, мұнда тәуелсіз параметр міндетті түрде уақыт болмауы мүмкін, бірақ (мысалы) қисықтың доғасының ұзындығы болуы мүмкін.

Механика

Кез келген қозғалыс теңдеуінде, позиция векторы r(t) әдетте ең ізделіп отыратын шама болып табылады, себебі осы функция бөлшектің (яғни нүктелік массаның) қозғалысын – белгілі бір уақыт t-де берілген координаттар жүйесіне қатысты оның орналасуын анықтайды.

Қозғалысты позиция арқылы анықтау үшін, әрбір координатты уақытпен параметрлеуге болады; уақыттың кез келген тізбекті мәні координаттармен берілген тізбекті кеңістіктік орналасуларға сәйкес келеді, ал көптеген тізбекті орналасулардың үздісіз шегі – бөлшектің қозғалыс жолы болып табылады. Бір өлшемді жағдайда позицияның тек бір ғана компоненті болады, сондықтан ол тиімді түрде скалярлық координатқа дейін тобыққандай болады. Мысалы, бұл x бағытындағы вектор немесе радиалдық r бағыты болуы мүмкін. Баламалы белгілеулерге мыналар жатады: