Введение
Вектор, представляющий положение точки относительно фиксированного начала координат.
In geometry, a position or position vector, also known as location vector or radius vector, is a Euclidean vector that represents a point P in space. Its length represents the distance in relation to an arbitrary reference origin O, and its direction represents the angular orientation with respect to given reference axes. Usually denoted x, r, or s, it corresponds to the straight line segment from O to P.
In other words, it is the displacement or translation that maps the origin to P:
The term position vector is used mostly in the fields of differential geometry, mechanics and occasionally vector calculus. Frequently this is used in two dimensional or three dimensional space, but can be easily generalized to Euclidean spaces and affine spaces of any dimension.
В геометрии вектор положения, также известный как вектор местоположения или радиус-вектор, является евклидовым вектором, представляющим точку P в пространстве. Его длина соответствует расстоянию от произвольной фиксированной точки отсчета O, а его направление – угловой ориентации относительно заданных осей координат. Обычно обозначается x, r или s, он соответствует прямому отрезку от O до P.
In geometry, a position or position vector, also known as location vector or radius vector, is a Euclidean vector that represents a point P in space. Its length represents the distance in relation to an arbitrary reference origin O, and its direction represents the angular orientation with respect to given reference axes. Usually denoted x, r, or s, it corresponds to the straight line segment from O to P.
In other words, it is the displacement or translation that maps the origin to P:
The term position vector is used mostly in the fields of differential geometry, mechanics and occasionally vector calculus. Frequently this is used in two dimensional or three dimensional space, but can be easily generalized to Euclidean spaces and affine spaces of any dimension.
Иными словами, это вектор смещения или трансляции, отображающий начало координат в точку P.
In geometry, a position or position vector, also known as location vector or radius vector, is a Euclidean vector that represents a point P in space. Its length represents the distance in relation to an arbitrary reference origin O, and its direction represents the angular orientation with respect to given reference axes. Usually denoted x, r, or s, it corresponds to the straight line segment from O to P.
In other words, it is the displacement or translation that maps the origin to P:
The term position vector is used mostly in the fields of differential geometry, mechanics and occasionally vector calculus. Frequently this is used in two dimensional or three dimensional space, but can be easily generalized to Euclidean spaces and affine spaces of any dimension.
Термин "вектор положения" чаще всего используется в дифференциальной геометрии, механике и иногда в векторном исчислении. Как правило, он применяется в двух- или трехмерном пространстве, но может быть легко обобщен на евклидовы и аффинные пространства любой размерности.
In geometry, a position or position vector, also known as location vector or radius vector, is a Euclidean vector that represents a point P in space. Its length represents the distance in relation to an arbitrary reference origin O, and its direction represents the angular orientation with respect to given reference axes. Usually denoted x, r, or s, it corresponds to the straight line segment from O to P.
In other words, it is the displacement or translation that maps the origin to P:
The term position vector is used mostly in the fields of differential geometry, mechanics and occasionally vector calculus. Frequently this is used in two dimensional or three dimensional space, but can be easily generalized to Euclidean spaces and affine spaces of any dimension.
n измерений
Линейная алгебра позволяет абстрагировать n-мерный вектор положения. Вектор положения может быть выражен как линейная комбинация базисных векторов: множество всех векторов положения образует пространство положений (векторное пространство, элементами которого являются векторы положения), поскольку векторы положения можно складывать (операция сложения векторов) и умножать на скаляр (скалярное умножение), получая другой вектор положения в этом пространстве. Понятие "пространства" интуитивно понятно, поскольку каждый xi (i = 1, 2, …, n) может принимать любое значение, а совокупность значений определяет точку в пространстве. Размерность пространства положений равна n (также обозначается как dim(R) = n). Координаты вектора r относительно базисных векторов ei равны xi. Вектор координат образует координатный вектор или n-кортеж (x1, x2, …, xn). Каждая координата xi может быть параметризована некоторым числом параметров t. Один параметр xi(t) описывает кривую одномерную траекторию, два параметра xi(t1, t2) описывают кривую двумерную поверхность, три параметра xi(t1, t2, t3) описывают кривой трехмерный объем, и так далее. Линейная оболочка базисного множества B = {e1, e2, …, en} равна пространству положений R, обозначается span(B) = R.
The set of all position vectors forms position space (a vector space whose elements are the position vectors), since positions can be added (vector addition) and scaled in length (scalar multiplication) to obtain another position vector in the space. The notion of "space" is intuitive, since each xi (i = 1, 2, , n) can have any value, the collection of values defines a point in space. The dimension of the position space is n (also denoted dim(R) = n). The coordinates of the vector r with respect to the basis vectors ei are xi. The vector of coordinates forms the coordinate vector or n tuple (x1, x2, , xn). Each coordinate xi may be parameterized a number of parameters t. One parameter xi(t) would describe a curved 1D path, two parameters xi(t1, t2) describes a curved 2D surface, three xi(t1, t2, t3) describes a curved 3D volume of space, and so on. The linear span of a basis set B = {e1, e2, , en} equals the position space R, denoted span(B) = R.
Дифференциальная геометрия
Поля векторных позиций используются для описания непрерывных и дифференцируемых пространственных кривых, при этом независимый параметр не обязательно должен быть временем, но может быть, например, длиной дуги кривой.
Механика
В любом уравнении движения вектор положения r(t) обычно является наиболее искомой величиной, поскольку эта функция определяет движение частицы (т.е. точечной массы) – её местоположение относительно заданной системы координат в момент времени t.
Для описания движения через положение, каждая координата может быть задана как функция времени; поскольку каждое следующее значение времени соответствует последовательности пространственных положений, определяемых координатами, предел непрерывного ряда этих положений представляет собой траекторию частицы. В случае одного измерения, положение имеет только одну компоненту, поэтому фактически сводится к скалярной координате. Это может быть, например, вектор в направлении оси x или радиальное направление r. Эквивалентные обозначения включают