Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикалық функционалдық талдауда ішінара изометрия — гильберт кеңістіктері арасындағы сызықтық түрлендіру, ол өзінің ядросының ортогоналды толықтырылысында изометрия болып табылады. Оның ядросының ортогоналды толықтырылысы бастапқы подкеңістік деп аталады, ал оның мәндер жиыны — соңғы подкеңістік деп аталады. Ішінара изометриялар полярлық жіктеуде кездеседі.
In mathematical functional analysis a partial isometry is a linear map between Hilbert spaces such that it is an isometry on the orthogonal complement of its kernel. The orthogonal complement of its kernel is called the initial subspace and its range is called the final subspace. Partial isometries appear in the polar decomposition.
Жалпы анықтама
Ішінара изометрия ұғымын басқа да эквивалентті жолдармен анықтауға болады. Егер U – Хилберт кеңістігінің H1 жабық ішкі жиынында анықталған изометриялық бейнелеу болса, онда біз W-нің барлық H-ға кеңейтілуін, W-нің H1-нің ортогоналды толықтыруында нөл болуы шартымен анықтай аламыз. Осылайша, ішінара изометрия кейде жабық, ішінара анықталған изометриялық бейнелеу ретінде де анықталады. Ішінара изометриялар (және проекциялар) инволюциясы бар жартылай топтың көбірек абстрактілі жағдайында анықталуы мүмкін; осы анықтама осы жердегімен сәйкес келеді.
The concept of partial isometry can be defined in other equivalent ways. If U is an isometric map defined on a closed subset H1 of a Hilbert space H then we can define an extension W of U to all of H by the condition that W be zero on the orthogonal complement of H1. Thus a partial isometry is also sometimes defined as a closed partially defined isometric map. Partial isometries (and projections) can be defined in the more abstract setting of a semigroup with involution; the definition coincides with the one herein.
Шекті өлшемдегі сипаттама
Шекті өлшемді векторлық кеңістіктерде матрица ішінара изометрия болып табылады, егер және тек қана оның тірегіне проекциясы болса. Бұл изометрияның қатаң анықтамасымен салыстырылады: матрица изометрия болып табылады, егер және тек егер . Басқаша айтқанда, изометрия – инъективті ішінара изометрия. Кез келген шекті өлшемді ішінара изометрияны кейбір негіз таңдау арқылы , яғни бірінші бағаналары изометрия құрайтын, ал қалған бағаналары барлығы да 0-ге тең матрица түрінде бейнелеуге болады. Кез келген изометрия үшін Эрмиттік түйіндес ішінара изометрия болып табылады, бірақ берілген мысалдарда көрсетілгендей, әрбір ішінара изометрия осы формада болмайды.
In finite dimensional vector spaces, a matrix is a partial isometry if and only if is the projection onto its support. Contrast this with the more demanding definition of isometry: a matrix is an isometry if and only if In other words, an isometry is an injective partial isometry. Any finite dimensional partial isometry can be represented, in some choice of basis, as a matrix of the form , that is, as a matrix whose first columns form an isometry, while all the other columns are identically 0. Note that for any isometry , the Hermitian conjugate is a partial isometry, although not every partial isometry has this form, as shown explicitly in the given examples.
Жалпы шекті өлшемді мысалдар
Шектелген өлшемдердегі басқа да мысалдар мыналар: Бұл анық изометрия емес, өйткені бағандар ортонормал емес. Дегенмен, оның тірегі – және , ал осы кеңістіктегі әрекетін шектегенде, ол изометрияға (және әсіресе, унитарлыққа) айналады. Сондай-ақ, , яғни ол өзінің тірегіне проекция екенін тексеруге болады. Ішінара изометриялар міндетті түрде квадраттық матрицаларға сәйкес келмейді. Мысалы, бұл матрицаның тірегі – және , және ол осы кеңістікте изометрия (және әсіресе, сәйкестік) ретінде әрекет етеді. Тағы бір мысал, онда ол өзінің тірегінде тривиальды емес изометрия сияқты әрекет етеді: . Оның тірегі мен диапазоны арасындағы изометриялық мінез-құлқысын көрсете отырып, және екенін оңай тексеруге болады.
Other possible examples in finite dimensions areThis is clearly not an isometry, because the columns are not orthonormal. However, its support is the span of and , and restricting the action of on this space, it becomes an isometry (and in particular, a unitary). One can similarly verify that , that is, that is the projection onto its support. Partial isometries do not necessarily correspond to squared matrices. Consider for example,This matrix has support the span of and , and acts as an isometry (and in particular, as the identity) on this space. Yet another example, in which this time acts like a non trivial isometry on its support, isOne can readily verify that , and , showing the isometric behavior of between its support and its range .