Введение
В математическом функциональном анализе частичная изометрия — это линейное отображение между гильбертовыми пространствами, являющееся изометрией на ортогональном дополнении своего ядра. Ортогональное дополнение её ядра называется начальным подпространством, а её область значений — конечным подпространством. Частичные изометрии возникают при полярном разложении.
Общее определение
Понятие частичной изометрии может быть определено другими эквивалентными способами. Если U – изометрическое отображение, определенное на замкнутом подмножестве H1 гильбертова пространства H, то мы можем определить расширение W отображения U на все пространство H, потребовав, чтобы W было равно нулю на ортогональном дополнении к H1. Таким образом, частичную изометрию иногда также определяют как замкнутое частично определенное изометрическое отображение. Частичные изометрии (и проекции) могут быть определены в более абстрактном контексте полугруппы с инволюцией; это определение совпадает с приведенным выше.
Характеристика в конечных измерениях
В конечномерных векторных пространствах матрица является частичной изометрией тогда и только тогда, когда она является проекцией на свою поддержку. Это отличается от более строгого определения изометрии: матрица является изометрией тогда и только тогда, когда . Иными словами, изометрия является инъективной частичной изометрией. Любую конечномерную частичную изометрию можно представить, в некотором базисе, в виде матрицы вида , то есть в виде матрицы, первые столбцов которой образуют изометрию, а все остальные столбцы полностью нулевые. Следует отметить, что для любой изометрии , эрмитово сопряжённая матрица является частичной изометрией, хотя не каждая частичная изометрия имеет такой вид, как это явно показано в приведённых примерах.
Общие примеры с конечными измерениями
Другие возможные примеры в конечных измерениях: Это явно не изометрия, поскольку столбцы не ортонормальны. Однако её область определения – это линейная оболочка векторов и , и при ограничении действия на это пространство она становится изометрией (и, в частности, унитарной). Можно также проверить, что , то есть, является проекцией на свою область определения. Частичные изометрии не обязательно соответствуют квадратным матрицам. Рассмотрим, например, эту матрицу, область определения которой – линейная оболочка векторов и , и которая действует как изометрия (и в частности, как тождественное преобразование) на этом пространстве. Еще один пример, в котором действует как нетривиальная изометрия на своей области определения, – это . Легко проверить, что , и , что демонстрирует изометрическое поведение между своей областью определения и областью значений.