Кіріспе

Полиномиялар туысы

Математикада Гаусс биномиялық коэффициенттері (оларды Гаусс коэффициенттері, Гаусс полиномдары немесе q-биномиялық коэффициенттері деп те атайды) – биномиялық коэффициенттердің q аналогтары болып табылады. Гаусс биномиялық коэффициенті, немесе деп жазылады, – бүтін сан коэффициенттері бар q-ға қатысты полином, оның q-ның белгілі бір санға дәрежеленген мәні, q элементі бар шекті өрісте n өлшемді векторлық кеңістікте k өлшемді кіші кеңістіктер санын есептейді; яғни ол шекті Грассмандық кеңістіктің нүктелерінің санына тең.

Қайта аударулар

Гаустың биномдық коэффициенттерінің комбинаторлық сипаттамаларының бірі инверсияларды қамтиды. Кәдімгі биномдық коэффициент m элементтер жиынтығынан таңдалған r комбинацияларды есептейді. Егер m элементтерді m ұзындығы сөздің әртүрлі таңбалық орындары деп алсақ, онда әр r комбинациясы екі әріпті әліпбиді қолдана отырып, m ұзындығы сөзге сәйкес келеді, айталық {0,1}, r әріптің көшірмесі 1 (таңдалған комбинациядағы орындарды көрсетеді) және m - r әріптері 0 (қалған орындар үшін). Мысалы, 0 және 1 сандарын пайдаланатын сөздер келесідей: Гаустың биномдық коэффициентін алу үшін әр сөз q^d көбейткішімен байланысты, мұнда d – сөздің инверсиялар саны, ал бұл жағдайда инверсия – жұптың сол жағында 1 әріпті, оң жағында 0 әріпті ұстайтын позициялар жұбы. Жоғарыдағы мысалда 0 инверсиясы бар бір сөз, 1 инверсиясы бар бір сөз, 2 инверсиясы бар екі сөз, 3 инверсиясы бар бір сөз және 4 инверсиясы бар бір сөз бар. Бұл сондай-ақ 1-дің бастапқы орнынан солға қарай жылжу санын да көрсетеді. Бұл коэффициенттерге сәйкес келеді. Мұны көрудің тағы бір жолы – әр сөзді биіктігі r және ені m - r тікбұрышты тор арқылы төменгі сол жақ бұрыштан жоғары оң жақ бұрышқа дейінгі жолмен байланыстыру. Жол әрбір 0 үшін оңға қарай бір қадам, әрбір 1 үшін жоғары қарай бір қадам жасайды. Инверсия қадам бағытын өзгертеді (оңға+жоғарыға → жоғарыға+оңға және керісінше), сондықтан инверсиялар саны жолдың астындағы ауданға тең.

Көптаманың дәрежесі

Мәні - .