Кіріспе
√2-ні жуықтау үшін қолданылатын натурал сандар. Математикада Пелл сандары – ежелгі заманнан белгілі бүтін сандардың шексіз тізбегі, олар 2-нің квадрат түбіріне ең жақын рационалды жуықтамалардың бөлімдерін құрайды. Бұл жуықтамалар тізбегінің алымдары – серік Пелл сандарының немесе Пелл-Лукас сандарының жартысы; бұл сандар 2, 6, 14, 34 және 82 сандарынан басталатын екінші шексіз тізбекті құрайды. Пелл сандары мен серік Пелл сандары Фибоначчи сандарына ұқсас рекурренттік қатынас арқылы есептелуі мүмкін, және екі сан тізбегі де күміс қатынасының (1 + √2) дәрежелеріне пропорционалды өседі. 2-нің квадрат түбірін жуықтаудан басқа, Пелл сандары квадрат үшбұрышты сандарды табуға, тікбұрышты теңқабырлы үшбұрыздың бүтін санмен жуықтамаларын құрастыруға және белгілі бір комбинаторлық есептеу мәселелерін шешуге қолданылуы мүмкін. Пелл теңдеуі сияқты, Пелл сандарының атауы Леонард Эйлердің теңдеуді және одан туындаған сандарды Джон Пеллге қателікпен жатқызғандығынан туындайды. Пелл-Лукас сандары да Эдуард Лукастың есімімен аталады, ол осы типтегі рекурренттік қатынастармен анықталатын тізбектерді зерттеді; Пелл және серік Пелл сандары – Лукас тізбектері.
In mathematics, the Pell numbers are an infinite sequence of integers, known since ancient times, that comprise the denominators of the closest rational approximations to the square root of 2. This sequence of approximations begins , , , , and , so the sequence of Pell numbers begins with 1, 2, 5, 12, and 29. The numerators of the same sequence of approximations are half the companion Pell numbers or Pell–Lucas numbers; these numbers form a second infinite sequence that begins with 2, 6, 14, 34, and 82. Both the Pell numbers and the companion Pell numbers may be calculated by means of a recurrence relation similar to that for the Fibonacci numbers, and both sequences of numbers grow exponentially, proportionally to powers of the silver ratio 1 + As well as being used to approximate the square root of two, Pell numbers can be used to find square triangular numbers, to construct integer approximations to the right isosceles triangle, and to solve certain combinatorial enumeration problems. As with Pell's equation, the name of the Pell numbers stems from Leonhard Euler's mistaken attribution of the equation and the numbers derived from it to John Pell. The Pell–Lucas numbers are also named after Édouard Lucas, who studied sequences defined by recurrences of this type; the Pell and companion Pell numbers are Lucas sequences.
Анықтамалар
Жартылай Пелл сандары Hn және Пелл сандары Pn бірнеше оңай балама тәсілдермен шығарылуы мүмкін.
Өзара қайталану формулалары
n кем дегенде 2 болсын.
Пифагор үштігі
1=c² = a² + (a + 1)² = 2a² + 2a + 1 теңдігі дәл 1=2c² = 4a² + 4a + 2, яғни 1=2P² = H² + 1 болып келеді, мұнда 1=H = 2a + 1 және 1=P = c алмастырулары қолданылады. Сондықтан n-ші шешім 1=cn = P²ⁿ⁺¹ болады. Жоғарыдағы кестеде көрсетілгендей, an және 1=bn = an + 1 өрнектері 1=Hn Hn₊₁ және 1=2Pn Pn₊₁ тең, ал 1=cn = Hn₊₁ Pn + Pn₊₁ Hn.