Введение

Природные числа, используемые для приближения √2

В математике числа Пелла — это бесконечная последовательность целых чисел, известных с древних времен, которые составляют знаменатели наилучших рациональных приближений к квадратному корню из 2. Эта последовательность приближений начинается с , , , и , поэтому последовательность чисел Пелла начинается с 1, 2, 5, 12 и 29. Числители той же последовательности приближений равны половине сопутствующих чисел Пелла или чисел Пелла — Лукаса; эти числа образуют вторую бесконечную последовательность, которая начинается с 2, 6, 14, 34 и 82. Как числа Пелла, так и сопутствующие числа Пелла могут быть вычислены с помощью соотношения рекуррентности, аналогичного соотношению для чисел Фибоначчи, и обе последовательности чисел растут экспоненциально, пропорционально степеням серебряного отношения 1 + . Помимо использования для приближения квадратного корня из двух, числа Пелла могут быть использованы для нахождения квадратных треугольных чисел, для построения целочисленных приближений к прямоугольному равнобедренному треугольнику и для решения определенных комбинаторных задач на перечисление. Как и в случае уравнения Пелла, название чисел Пелла происходит от ошибочного приписывания уравнения и чисел, выведенных из него, Джону Пеллу Леонардом Эйлером. Числа Пелла — Лукаса также названы в честь Эдуарда Лукаса, который изучал последовательности, определяемые рекуррентными соотношениями этого типа; числа Пелла и сопутствующие числа Пелла являются последовательностями Лукаса.

Определения

Полукомпаньонские числа Пелля Hn и числа Пелля Pn могут быть выведены несколькими равносильными способами.

Формулы взаимной рецидивизации

Пусть n не меньше 2.

Пифагорейская тройка

Равенство 1=c² = a² + (a + 1)² = 2a² + 2a + 1 выполняется тогда и только тогда, когда 1=2c² = 4a² + 4a + 2, что эквивалентно 1=2P² = H² + 1 при замене 1=H = 2a + 1 и 1=P = c. Следовательно, n-е решение таково, что 1=cn = P²ⁿ⁺¹. Из таблицы выше следует, что в том или ином порядке an и 1=bn = an + 1 равны HₙHₙ₊₁ и 2PₙPₙ₊₁, а 1=cn = Hₙ₊₁Pₙ + Pₙ₊₁Hₙ.