Кіріспе
Математикада Гаусс-Кузьмин-Вирсинг операторы — оң санды оның кері шамасының бөлшек бөлігіне жіберілген Гаусс функциясының трансфер операторы. (Бұл дифференциалдық геометриядағы Гаусс функциясынан өзгеше.) Ол Карл Гаусс, Родион Кузьмин және Эдуард Вирсингтің құрметіне аталған. Ол үздіксіз бөлшектерді зерттеуде қолданылады; сондай-ақ Риманның зетта функциясымен байланысты.
Тұрақты спектр
Өздік мәндер дискретті спектрді құрайды, егер оператор нақты сандар сызығының бірлік аралығындағы функцияларға ғана әрекет етумен шектелсе. Көбінесе, Гаусс картасы Байр кеңістігіндегі ығысу операторы болғандықтан, GKW операторын функциялық кеңістіктегі оператор ретінде қарастыруға болады (Банах кеңістігі ретінде қарастырылады, оның негізгі функциялары өнім топологиясы цилиндрлеріндегі индикаторлық функциялар болып табылады). Соңғы жағдайда, ол үздіксіз спектрге ие, күрделі жазықтықтың бірлік дискісінде өздік мәндері бар. Яғни, егер цилиндр берілсе, G операторы оны солға ығыстырады: цилиндрде 1-ге (егер ) тең және басқа жағдайларда 0-ге тең болатын индикаторлық функцияны қарастырсақ, онда келесі қатар өздік мәні бар өзіндік функция болады. Яғни, егер қосынды жинақталар болса: яғни, ығысу операторының Хаар өлшемін қарастырғымыз келсе, яғни ығысуларға қатысты өзгермейтін функцияны қарастырсақ, ерекше жағдай туындайды. Бұл Минковский өлшемімен берілген, яғни, .
then is an eigenfunction with eigenvalue That is, one has whenever the summation converges: that is, when
A special case arises when one wishes to consider the Haar measure of the shift operator, that is, a function that is invariant under shifts. This is given by the Minkowski measure That is, one has that .
Ергодиктілік
Гаусс картасы іс жүзінде ергодикалықтан гөрі әлдеқайда күшті: ол экспоненциалды араласады, бірақ оның дәлелі қарапайым емес.
Энтропия
Гаусс картасы, Гаусс шамасы бойынша, энтропияға ие. Бұл Рохлиннің энтропия формуласы арқылы дәлелдеуге болады. Содан кейін Шеннон-Макмиллан-Брейман теоремасын, оның тең үлестіру қасиетін қолданып, Лохстың теоремасына жетеміз.
Теориялық алдын ала шаралар
Қамтушы отбасы – өлшенетін жиындар жиынтығы, онда кез келген ашық жиын сол жиындардың ажыратылған біріндісі болып табылады. Бұл топологиядағы базамен салыстырылады, ол азырақ шектеулі, себебі ол ажыратылмаған бірінділерге рұқсат береді. Кнопп леммасы. Егер өлшенетін болса, қамтушы отбасы болсын және болсын делік.
Дәлелдеме. Кез келген ашық жиын қамтушы отбасының ажыратылған біріндісі болғандықтан, кез келген ашық жиын үшін мынадай теңдік орындалады, тек кез келген жиын үшін емес. Толықтыруын алайық. Лебег өлшемі сырттан тұрақты болғандықтан, жиынына симметриялық айырмашылығы кез келген кішкентай шамадан кем болатын ашық жиынын таба аламыз. Шектеуде жиыны жиынына жақындайды.
Proof. Since any open set is a disjoint union of sets in , we have for any open set , not just any set in
Take the complement Since the Lebesgue measure is outer regular, we can take an open set that is close to , meaning the symmetric difference has arbitrarily small measure
At the limit, becomes have .
Гаусс картасы ергодикалық
Оң бүтін сандар тізбесін бекітіңіз. Интервал [a, b) соңғы нүктелері a және b бар ашық интервал болсын.
Lemma. For any open interval , we haveProof. For any we have by standard continued fraction theory. By expanding the definition, is an interval with end points Now compute directly. To show the fraction is , use the fact that
Theorem. The Gauss map is ergodic. Proof. Consider the set of all open intervals in the form Collect them into a single family This is a covering family, because any open interval where are rational, is a disjoint union of finitely many sets in
Suppose a set is invariant and has positive measure. Pick any Since Lebesgue measure is outer regular, there exists an open set which differs from by only Since is invariant, we also have Therefore, By the previous lemma, we haveTake the limit, we have By Knopp's lemma, it has full measure.
Лемма. Кез келген ашық интервал [a, b) үшін, дәлел бар. Дәлел. Кез келген x үшін, стандартты жалғасқан бөлшектер теориясы бойынша x = [a₀; a₁, a₂, ...] болады. Анықтаманы кеңейту арқылы, [a₀; a₁, a₂, ...] соңғы нүктелері бар интервалды тікелей есептейміз. Бөлшектің мәнін көрсету үшін, [a₀; a₁, a₂, ...] = x екенін пайдаланыңыз.
Lemma. For any open interval , we haveProof. For any we have by standard continued fraction theory. By expanding the definition, is an interval with end points Now compute directly. To show the fraction is , use the fact that
Theorem. The Gauss map is ergodic. Proof. Consider the set of all open intervals in the form Collect them into a single family This is a covering family, because any open interval where are rational, is a disjoint union of finitely many sets in
Suppose a set is invariant and has positive measure. Pick any Since Lebesgue measure is outer regular, there exists an open set which differs from by only Since is invariant, we also have Therefore, By the previous lemma, we haveTake the limit, we have By Knopp's lemma, it has full measure.
Теорема. Гаусс картасы эргодикалық. Дәлел. [a, b) түріндегі барлық ашық интервалдар жиынын қарастырыңыз. Оларды бір отбасыға біріктіріңіз. Бұл жабатын отбасы болады, өйткені a және b рационал сандар болатын кез келген ашық интервал [a, b), шектеулі көптеген жиынның ажыратылған біріндісі болып табылады.
Lemma. For any open interval , we haveProof. For any we have by standard continued fraction theory. By expanding the definition, is an interval with end points Now compute directly. To show the fraction is , use the fact that
Theorem. The Gauss map is ergodic. Proof. Consider the set of all open intervals in the form Collect them into a single family This is a covering family, because any open interval where are rational, is a disjoint union of finitely many sets in
Suppose a set is invariant and has positive measure. Pick any Since Lebesgue measure is outer regular, there exists an open set which differs from by only Since is invariant, we also have Therefore, By the previous lemma, we haveTake the limit, we have By Knopp's lemma, it has full measure.
Егер A жиыны инвариантты және оң өлшемге ие болса, кез келген x-ті таңдаңыз. Лебег өлшемі сыртқы тұрақты болғандықтан, A-дан тек бір ғана ерекшеленетін ашық жиын бар. A инвариантты болғандықтан, бізде де солай болады. Сондықтан, алдыңғы лемма бойынша, бізде бар. Лимит алғанда, бізде болады. Кнопп леммасы бойынша, ол толық өлшемге ие.
Lemma. For any open interval , we haveProof. For any we have by standard continued fraction theory. By expanding the definition, is an interval with end points Now compute directly. To show the fraction is , use the fact that
Theorem. The Gauss map is ergodic. Proof. Consider the set of all open intervals in the form Collect them into a single family This is a covering family, because any open interval where are rational, is a disjoint union of finitely many sets in
Suppose a set is invariant and has positive measure. Pick any Since Lebesgue measure is outer regular, there exists an open set which differs from by only Since is invariant, we also have Therefore, By the previous lemma, we haveTake the limit, we have By Knopp's lemma, it has full measure.
Жалпы сілтемелер
А. Я. Хинчин, Үзіліс бөлшектері, 1935, ағылшын тіліне аудармасы Чикаго университетінің баспасы, 1961 (15-тарауды қараңыз). К. И. Бабенко, Гаусс проблемасы туралы, Кеңес математикалық хабарламалары 19:136–140 (1978). К. И. Бабенко және С. П. Юрьев, Гаусс проблемасын дискреттеу туралы, Кеңес математикалық хабарламалары 19:731–735 (1978). А. Дурнер, Гаусс–Кузмин–Леви теоремасы туралы. Arch. Math. 58, 251–256 (1992). А. Дж. МакЛеод, Гаусс–Кузмин үздіксіз бөлшектер проблемасының жоғары дәлдікті сандық мәндері. Computers Math. Appl. 26, 37–44 (1993). Э. Вирсинг, Гаусс–Кузмин–Леви теоремасы және Фробеньус типті функциялық кеңістіктер теоремасы туралы. Acta Arith. 24, 507–528 (1974).
K. I. Babenko and S. P. Jur'ev, On the Discretization of a Problem of Gauss, Soviet Mathematical Doklady 19:731–735 (1978). A. Durner, On a Theorem of Gauss–Kuzmin–Lévy. Arch. Math. 58, 251–256, (1992). A. J. MacLeod, High Accuracy Numerical Values of the Gauss–Kuzmin Continued Fraction Problem. Computers Math. Appl. 26, 37–44, (1993). E. Wirsing, On the Theorem of Gauss–Kuzmin–Lévy and a Frobenius Type Theorem for Function Spaces. Acta Arith. 24, 507–528, (1974).