Введение
В математике оператор Гаусса — Кузьмина — Вирсинга — это оператор переноса отображения Гаусса, которое сопоставляет положительное число дробной части его обратной величины. (Это не то же самое, что отображение Гаусса в дифференциальной геометрии.) Он назван в честь Карла Гаусса, Родиона Кузьмина и Эдуарда Вирсинга. Он возникает при изучении непрерывных дробей и также связан с дзета-функцией Римана.
Непрерывный спектр
Эгензначения образуют дискретный спектр, когда оператор ограничен действием на функции на единичном интервале вещественной прямой. В более широком смысле, поскольку отображение Гаусса является оператором сдвига на пространстве Байра, оператор GKW также можно рассматривать как оператор на пространстве функций (рассматриваемом как банахово пространство, с базовыми функциями, принимаемыми за индикаторные функции на цилиндрах произведения топологий). В последнем случае он имеет непрерывный спектр, с эгензначениями в единичном диске комплексной плоскости. То есть, заданному цилиндру , оператор G сдвигает его влево: принимая за индикаторную функцию, равную 1 на цилиндре (при ), и 0 в противном случае, получаем, что ряд
является собственной функцией с эгензначением. То есть, выполняется , когда сумма сходится: а именно, когда . Особый случай возникает, когда необходимо рассмотреть меру Хаара оператора сдвига, то есть функцию, инвариантную относительно сдвигов. Она задается мерой Минковского. То есть, выполняется.
A special case arises when one wishes to consider the Haar measure of the shift operator, that is, a function that is invariant under shifts. This is given by the Minkowski measure That is, one has that .
Эргодичность
Карта Гаусса на самом деле гораздо больше, чем эргодическая: она экспоненциально перемешивающая, но доказательство этого не элементарно.
Энтропия
Карта Гаусса, относительно меры Гаусса, обладает энтропией. Это можно доказать с помощью формулы Рохлина для энтропии. Затем, используя теорему Шеннона — Макмиллана — Бреймана и её свойство эквипартиции, мы приходим к теореме Локса.
Теоретические предварительные меры
Покрывающее семейство – это набор измеримых множеств, такой что любое открытое множество является непересекающимся объединением множеств из него. Сравните это с базой в топологии, которая менее требовательна, поскольку допускает неразъединенные объединения. Лемма Кнопа. Пусть измеримо, пусть – покрывающее семейство и предположим, что Тогда
Доказательство. Поскольку любое открытое множество является непересекающимся объединением множеств из , мы имеем для любого открытого множества , а не просто любого множества в .
Возьмем дополнение . Поскольку внешняя мера Лебега обладает свойством регулярности справа, мы можем выбрать открытое множество , близкое к , то есть симметричная разность имеет сколь угодно малую меру.
В пределе становится равным .
Proof. Since any open set is a disjoint union of sets in , we have for any open set , not just any set in
Take the complement Since the Lebesgue measure is outer regular, we can take an open set that is close to , meaning the symmetric difference has arbitrarily small measure
At the limit, becomes have .
Карта Гаусса является эргодической
Зафиксируйте последовательность положительных целых чисел. Пусть интервал будет открытым интервалом с конечными точками.
Lemma. For any open interval , we haveProof. For any we have by standard continued fraction theory. By expanding the definition, is an interval with end points Now compute directly. To show the fraction is , use the fact that
Theorem. The Gauss map is ergodic. Proof. Consider the set of all open intervals in the form Collect them into a single family This is a covering family, because any open interval where are rational, is a disjoint union of finitely many sets in
Suppose a set is invariant and has positive measure. Pick any Since Lebesgue measure is outer regular, there exists an open set which differs from by only Since is invariant, we also have Therefore, By the previous lemma, we haveTake the limit, we have By Knopp's lemma, it has full measure.
Лемма. Для любого открытого интервала , у нас есть . Доказательство. Для любого , у нас есть , согласно стандартной теории непрерывных дробей. Развернув определение, получаем, что является интервалом с конечными точками. Теперь вычислим непосредственно. Чтобы показать, что дробь равна , используйте тот факт, что .
Lemma. For any open interval , we haveProof. For any we have by standard continued fraction theory. By expanding the definition, is an interval with end points Now compute directly. To show the fraction is , use the fact that
Theorem. The Gauss map is ergodic. Proof. Consider the set of all open intervals in the form Collect them into a single family This is a covering family, because any open interval where are rational, is a disjoint union of finitely many sets in
Suppose a set is invariant and has positive measure. Pick any Since Lebesgue measure is outer regular, there exists an open set which differs from by only Since is invariant, we also have Therefore, By the previous lemma, we haveTake the limit, we have By Knopp's lemma, it has full measure.
Теорема. Карта Гаусса эргодична. Доказательство. Рассмотрим множество всех открытых интервалов вида . Объединим их в одно семейство. Это покрывающее семейство, поскольку любой открытый интервал , где рациональны, является непересекающимся объединением конечного числа множеств из .
Lemma. For any open interval , we haveProof. For any we have by standard continued fraction theory. By expanding the definition, is an interval with end points Now compute directly. To show the fraction is , use the fact that
Theorem. The Gauss map is ergodic. Proof. Consider the set of all open intervals in the form Collect them into a single family This is a covering family, because any open interval where are rational, is a disjoint union of finitely many sets in
Suppose a set is invariant and has positive measure. Pick any Since Lebesgue measure is outer regular, there exists an open set which differs from by only Since is invariant, we also have Therefore, By the previous lemma, we haveTake the limit, we have By Knopp's lemma, it has full measure.
Предположим, что множество инвариантно и имеет положительную меру. Выберем любое . Поскольку мера Лебега внешне регулярна, существует открытое множество , которое отличается от только на множество меры нуль. Поскольку инвариантно, мы также имеем . Следовательно, по предыдущей лемме, у нас есть . Переходя к пределу, получаем . По лемме Кноппа, оно имеет полную меру.
Lemma. For any open interval , we haveProof. For any we have by standard continued fraction theory. By expanding the definition, is an interval with end points Now compute directly. To show the fraction is , use the fact that
Theorem. The Gauss map is ergodic. Proof. Consider the set of all open intervals in the form Collect them into a single family This is a covering family, because any open interval where are rational, is a disjoint union of finitely many sets in
Suppose a set is invariant and has positive measure. Pick any Since Lebesgue measure is outer regular, there exists an open set which differs from by only Since is invariant, we also have Therefore, By the previous lemma, we haveTake the limit, we have By Knopp's lemma, it has full measure.
Общие ссылки
А. Я. Хинчин, Цепные дроби, 1935, английский перевод University of Chicago Press, 1961 (См. раздел 15). К. И. Бабенко, Об одной проблеме Гаусса, Советские математические доклады 19:136–140 (1978). К. И. Бабенко и С. П. Юрьев, О дискретизации проблемы Гаусса, Советские математические доклады 19:731–735 (1978). А. Дурнер, О теореме Гаусса — Кузьмина — Леви, Arch. Math. 58, 251–256 (1992). А. Дж. МакЛеод, Численные значения высокой точности для проблемы непрерывных дробей Гаусса — Кузьмина, Computers Math. Appl. 26, 37–44 (1993). Э. Вирсинг, О теореме Гаусса — Кузьмина — Леви и теореме типа Фробениуса для функциональных пространств, Acta Arith. 24, 507–528 (1974).
K. I. Babenko and S. P. Jur'ev, On the Discretization of a Problem of Gauss, Soviet Mathematical Doklady 19:731–735 (1978). A. Durner, On a Theorem of Gauss–Kuzmin–Lévy. Arch. Math. 58, 251–256, (1992). A. J. MacLeod, High Accuracy Numerical Values of the Gauss–Kuzmin Continued Fraction Problem. Computers Math. Appl. 26, 37–44, (1993). E. Wirsing, On the Theorem of Gauss–Kuzmin–Lévy and a Frobenius Type Theorem for Function Spaces. Acta Arith. 24, 507–528, (1974).