Кіріспе
Математикадағы категорияның түрі
Математикада, әсіресе категориялар теориясында, жабық моноиділдік категория (немесе моноиділдік жабық категория) – құрылымдары үйлесімді болатын моноиділдік категория және жабық категория. Классикалық мысал – жиынтар категориясы, Set, онда жиындардың моноиділдік көбейтіндісі – әдеттегі картезиялық көбейтінді, ал ішкі Hom – A-дан B-ға дейінгі функциялар жиыны. Картезиялық емес мысал – өріс үстіндегі K Vect векторлық кеңістіктер категориясы. Мұнда моноиділдік көбейтінді – векторлық кеңістіктердің әдеттегі тензорлық көбейтіндісі, ал ішкі Hom – бір векторлық кеңістіктен екіншісіне жүзеге асырылатын сызықтық түрлендірулердің векторлық кеңістігі. Жабық симметриялық моноиділдік категориялардың ішкі тілі – сызықтық логика, ал типтік жүйе – сызықтық типтік жүйе. Жабық моноиділдік категориялардың көптеген мысалдары симметриялық болып табылады. Дегенмен, бұл әрқашан осылай болуы міндетті емес, себебі симметриялық емес моноиділдік категориялар лингвистиканың категориялық теориялық тұжырымдамаларында кездеседі; шамамен айтқанда, бұл табиғи тілде сөздердің реті маңызды болғандықтан.
In mathematics, especially in category theory, a closed monoidal category (or a monoidal closed category) is a category that is both a monoidal category and a closed category in such a way that the structures are compatible. A classic example is the category of sets, Set, where the monoidal product of sets and is the usual cartesian product , and the internal Hom is the set of functions from to A non cartesian example is the category of vector spaces, K Vect, over a field Here the monoidal product is the usual tensor product of vector spaces, and the internal Hom is the vector space of linear maps from one vector space to another. The internal language of closed symmetric monoidal categories is linear logic and the type system is the linear type system. Many examples of closed monoidal categories are symmetric. However, this need not always be the case, as non symmetric monoidal categories can be encountered in category theoretic formulations of linguistics; roughly speaking, this is because word order in natural language matters.
Мысалдар
Кез келген картезиялық жабық категория, моноиділдік құрылымы картезиялық көбейту құрылымы болғанда, симметриялық моноиділдік жабық категория болып табылады. Ішкі Hom функторы экспоненциалдық объектімен беріледі. Атап айтқанда, жиындар категориясы, Set, симметриялық жабық моноиділдік категория болып табылады. Мұндағы ішкі Hom – -тан -ға дейінгі функциялар жиыны. Коммутативті сақина R үстіндегі модульдер категориясы, R Mod, картезиялық емес, симметриялық жабық моноиділдік категория болып табылады. Моноиділдік көбейту модульдердің тензорлық көбейтуімен беріледі, ал ішкі Hom – R-сызықтық бейнелеулер кеңістігімен және оның табиғи R-модульдік құрылымымен беріледі. Атап айтқанда, өріс үстіндегі векторлық кеңістіктер категориясы симметриялық жабық моноиділдік категория болып табылады. Абельдік топтарды Z-модульдер ретінде қарастыруға болады, сондықтан абельдік топтар категориясы да симметриялық жабық моноиділдік категория болып табылады. Симметриялық тығыз жабық категория – ішкі Hom функторы арқылы берілген симметриялық моноиділдік жабық категория. Канондық мысал – шекті өлшемді векторлық кеңістіктер категориясы, FdVect.
Қарсы үлгілер
Сақиналар санаты – сақиналардың тензорлық көбейтіндісі бойынша симметриялық, моноидтік санат, ал бірлік объектісі болып табылады. Бұл санат жабық емес. Егер жабық болғанда, кез келген екі сақина жұбы үшін дәл бір гомоморфизм болар еді: R коммутативтік сақинасы үстіндегі R алгебраларының санаты үшін де осы айтылады.