Введение
Тип категории в математике
В математике, особенно в теории категорий, замкнутая моноидальная категория (или моноидальная замкнутая категория) — это категория, которая одновременно является моноидальной и замкнутой категорией, причем структуры совместимы. Классическим примером является категория множеств, Set, где моноидальное произведение множеств и — это обычное декартово произведение , а внутренний Hom — множество функций из в . Недекартовский пример — категория векторных пространств, K Vect, над полем. Здесь моноидальное произведение — обычное тензорное произведение векторных пространств, а внутренний Hom — векторное пространство линейных отображений из одного векторного пространства в другое. Внутренний язык замкнутых симметричных моноидальных категорий — линейная логика, а система типов — линейная система типов. Многие примеры замкнутых моноидальных категорий симметричны. Однако это не всегда так, поскольку несимметричные моноидальные категории могут встречаться в категорно-теоретических формулировках лингвистики; грубо говоря, это связано с тем, что порядок слов в естественном языке имеет значение.
In mathematics, especially in category theory, a closed monoidal category (or a monoidal closed category) is a category that is both a monoidal category and a closed category in such a way that the structures are compatible. A classic example is the category of sets, Set, where the monoidal product of sets and is the usual cartesian product , and the internal Hom is the set of functions from to A non cartesian example is the category of vector spaces, K Vect, over a field Here the monoidal product is the usual tensor product of vector spaces, and the internal Hom is the vector space of linear maps from one vector space to another. The internal language of closed symmetric monoidal categories is linear logic and the type system is the linear type system. Many examples of closed monoidal categories are symmetric. However, this need not always be the case, as non symmetric monoidal categories can be encountered in category theoretic formulations of linguistics; roughly speaking, this is because word order in natural language matters.
Примеры
Каждая декартово замкнутая категория является симметричной, моноидной замкнутой категорией, если моноидная структура – это декартово произведение. Внутренний функтор Hom задается экспоненциальным объектом. В частности, категория множеств, Set, является симметричной, замкнутой моноидной категорией. Здесь внутренний Hom – это просто множество функций из в . Категория модулей, R Mod над коммутативным кольцом R, является не декартовой, симметричной, моноидной замкнутой категорией. Моноидальное произведение задается тензорным произведением модулей, а внутренний Hom – пространством R-линейных отображений с его естественной структурой R-модуля. В частности, категория векторных пространств над полем является симметричной, замкнутой моноидной категорией. Абелевы группы можно рассматривать как Z-модули, поэтому категория абелевых групп также является симметричной, замкнутой моноидной категорией. Симметричная компактно замкнутая категория – это симметричная моноидальная замкнутая категория, в которой внутренний функтор Hom задается . Каноническим примером является категория конечномерных векторных пространств, FdVect.
Контрпримеры
Категория колец является симметричной, моноидной категорией относительно тензорного произведения колец, а само кольцо служит единичным объектом. Эта категория не является замкнутой. Если бы она была замкнутой, то между любой парой колец существовал бы ровно один гомоморфизм: то же самое верно и для категории R-алгебр над коммутативным кольцом R.