Кіріспе
Бұл бетте векторлық кеңістіктердің бірнеше мысалы келтірілген. Бұл бетте қолданылған терминдердің анықтамалары үшін векторлық кеңістікке қараңыз. Сондай-ақ қараңыз: өлшем, базис. Белгілеу. F әріптің кез келген өрісті, мысалы, нақты сандар R немесе кешенді сандар C білдіретін болсын.
This page lists some examples of vector spaces. See vector space for the definitions of terms used on this page. See also: dimension, basis. Notation. Let F denote an arbitrary field such as the real numbers R or the complex numbers C.
Тривиалды немесе нөлдік векторлық кеңістік
Векторлық кеңістіктің ең қарапайым мысалы – {0}, онда тек нөлдік вектор ғана бар (Векторлық кеңістік мақаласындағы үшінші аксиоманы қараңыз). Векторлық қосылу да, скалярлық көбейту де тривиалды. Бұл векторлық кеңістіктің базисі бос жиын, сондықтан {0} – F үстіндегі 0-өлшемді векторлық кеңістік. F үстіндегі кез келген векторлық кеңістік осыған изоморфты болатын кіші кеңістікті қамтиды. Нөлдік векторлық кеңістік, L сызықтық операторының ядросы болып табылатын нөлдік кеңістіктен тұжырымдық тұрғыдан өзгеше. (Сонымен қатар, L-дің нөлдік кеңістігі нөлдік кеңістік болады, егер ғана L инъективті болса.)
Өңір
Келесі ең қарапайым мысал – F өрісінің өзі. Векторлық қосымша – бұл жай ғана өріс қосымшасы, ал скалярлық көбейту – жай ғана өріс көбейтуі. Осы қасиеттің көмегімен өріс векторлық кеңістік екенін дәлелдеуге болады. F өрісінің кез келген нөлдік емес элементі негіз болып табылады, сондықтан F – өзінің үстінен 1 өлшемді векторлық кеңістік. Өріс – өте ерекше векторлық кеңістік; шындығында, ол F өрісі үстінен коммутативтік алгебраның ең қарапайым мысалы. Сондай-ақ, F өрісінде тек екі ғана кіші кеңістік бар: {0} және өзінің өзі.
Шегінбейтін координаттық кеңістік
F∞ кеңістігі F элементтерінен құралған шексіз тізбектерді белгілесін, мұнда тек шекті саны ғана нөлден өзгеше. Яғни, егер F∞ элементін былай жазсақ:
then only a finite number of the xi are nonzero (i. e., the coordinates become all zero after a certain point). Addition and scalar multiplication are given as in finite coordinate space. The dimensionality of F∞ is countably infinite. A standard basis consists of the vectors ei which contain a 1 in the i th slot and zeros elsewhere. This vector space is the coproduct (or direct sum) of countably many copies of the vector space F.
Note the role of the finiteness condition here. One could consider arbitrary sequences of elements in F, which also constitute a vector space with the same operations, often denoted by FN see below. FN is the product of countably many copies of F.
By Zorn's lemma, FN has a basis (there is no obvious basis). There are uncountably infinite elements in the basis. Since the dimensions are different, FN is not isomorphic to F∞. It is worth noting that FN is (isomorphic to) the dual space of F∞, because a linear map T from F∞ to F is determined uniquely by its values T(ei) on the basis elements of F∞, and these values can be arbitrary. Thus one sees that a vector space need not be isomorphic to its double dual if it is infinite dimensional, in contrast to the finite dimensional case.
онда xi-дың тек шекті саны ғана нөлден өзгеше болады (яғни, белгілі бір нүктеден кейін координаттардың бәрі нөлге айналады). Қосу және скалярлық көбейту амалдары шекті координаттық кеңістікте берілгендей орындалады. F∞ кеңістігінің өлшемділігі санаулы шексіз. Стандартты негіз – i-інші орнында 1 және қалғандары нөл болатын ei векторларынан тұрады. Бұл векторлық кеңістік F векторлық кеңістігінің санаулы көптеген көшірмелерінің копродуктісі (немесе тікелей қосындысы) болып табылады. Мұнда шектілік шартының маңызды екенін атап өту керек. F элементтерінің кез келген тізбектерін де қарастыруға болады, олар да бірдей амалдармен векторлық кеңістікті құрайды және көбінесе FN деп белгіленеді – қараңыз төменде. FN – F векторлық кеңістігінің санаулы көптеген көшірмелерінің тобы. Зорн леммасы бойынша FN-нің негізі бар (оның анық негізі жоқ). Бұл негізде санаулы емес элементтер бар. Өлшемдері әртүрлі болғандықтан, FN, F∞-ға изоморфты емес. FN, F∞ кеңістігінің жұптық кеңістігіне (изоморфты) тең екенін ескеру қажет, себебі F∞-дан F-ке дейінгі сызықтық түрлендіру T, F∞ негізіндегі ei элементтеріндегі мәндерімен толық анықталады, ал бұл мәндер кез келген болуы мүмкін. Осыдан векторлық кеңістік шексіз өлшемді болған жағдайда, оның жұптық кеңістігіне изоморфты болуы міндетті емес екенін көреміз, бұл шекті өлшемді жағдайдан өзгеше.
then only a finite number of the xi are nonzero (i. e., the coordinates become all zero after a certain point). Addition and scalar multiplication are given as in finite coordinate space. The dimensionality of F∞ is countably infinite. A standard basis consists of the vectors ei which contain a 1 in the i th slot and zeros elsewhere. This vector space is the coproduct (or direct sum) of countably many copies of the vector space F.
Note the role of the finiteness condition here. One could consider arbitrary sequences of elements in F, which also constitute a vector space with the same operations, often denoted by FN see below. FN is the product of countably many copies of F.
By Zorn's lemma, FN has a basis (there is no obvious basis). There are uncountably infinite elements in the basis. Since the dimensions are different, FN is not isomorphic to F∞. It is worth noting that FN is (isomorphic to) the dual space of F∞, because a linear map T from F∞ to F is determined uniquely by its values T(ei) on the basis elements of F∞, and these values can be arbitrary. Thus one sees that a vector space need not be isomorphic to its double dual if it is infinite dimensional, in contrast to the finite dimensional case.
Векторлық кеңістіктердің көбейтіндісі
n векторлық кеңістіктерден немесе олардың санаулы шексіз жиынтығынан, мұндағы әрқайсысы бірдей салада, біз жоғарыда сипатталғандай көбейтінді кеңістігін анықтай аламыз.
Матрицалар
Fm×n F өрісіндегі жазбалары бар m×n матрицалар жиынын белгілейді. Онда Fm×n – F өрісіндегі векторлық кеңістік болады. Векторлық қосу – бұл матрицалық қосу, ал скалярлық көбейту түсінікті тәсілмен анықталады (әрбір жазбаны сол скалярға көбейту арқылы). Нөлдік вектор – нөлдік матрица. Fm×n-нің өлшемі mn-ге тең. Бір мүмкін негіз – бір жазбасы 1-ге тең, ал қалған жазбалары 0-ге тең матрицалар. Егер m = n болса, матрица квадрат болады және мұндай екі матрицаны көбейту үшінші матрицаны тудырады. Бұл n2 өлшемді векторлық кеңістік өріс үстінде алгебра құрайды.
Бір айнымалы
F коэффициенттері бар көпмүшелер жиыны F-дегі векторлық кеңістік болып табылады, және F[x] деп белгіленеді. Векторлық қосылу және скалярлық көбейту түсінікті тәсілмен анықталады. Егер көпмүшелердің дәрежесі шектелмесе, онда F[x] кеңістігінің өлшемі санаулы шексіз болады. Ал егер дәрежесі n-ден кем немесе n-ге тең көпмүшелермен шектелсе, онда бізде n+1 өлшемді векторлық кеңістік болады. F[x] үшін мүмкін болатын бір негіз – мономиалдық негіз: осы негізге қатысты көпмүшенің координаталары оның коэффициенттері болып табылады, ал көпмүшені оның коэффициенттерінің тізбегіне бейнелейтін функция F[x] кеңістігінен шексіз координаттық кеңістік F∞-ге дейінгі сызықтық изоморфизм болып табылады. Нақты коэффициенттері бар және дәрежесі n-ден кем немесе n-ге тең көпмүшелердің векторлық кеңістігі көбінесе Pn арқылы белгіленеді.
Бірнеше айнымалылар
Бірнеше айнымалыдағы, F коэффициенттері бар көптоғандар жиыны F бойынша векторлық кеңістік болып табылады және F[x1, x2, ..., xr] деп белгіленеді. Мұнда r – айнымалылар саны.
Функционалдық кеңістіктер
Функционалдық кеңістік мақаласын қараңыз, әсіресе функционалдық талдау бөлімін. X бос емес, кез келген жиын болсын, ал V – F сандары арқылы анықталған кез келген векторлық кеңістік болсын. X-тен V-ге дейінгі барлық функциялар жиыны, нүктелік қосу және көбейту арқылы F арқылы анықталған векторлық кеңістік болып табылады. Яғни, f : X → V және g : X → V екі функцияны белгілейік, және α ∈ F болсын. Біз былай анықтаймыз:
where the operations on the right hand side are those in V. The zero vector is given by the constant function sending everything to the zero vector in V. The space of all functions from X to V is commonly denoted VX. If X is finite and V is finite dimensional then VX has dimension |X|(dim V), otherwise the space is infinite dimensional (uncountably so if X is infinite). Many of the vector spaces that arise in mathematics are subspaces of some function space. We give some further examples.
(f + g)(x) = f(x) + g(x) және (αf)(x) = αf(x),
where the operations on the right hand side are those in V. The zero vector is given by the constant function sending everything to the zero vector in V. The space of all functions from X to V is commonly denoted VX. If X is finite and V is finite dimensional then VX has dimension |X|(dim V), otherwise the space is infinite dimensional (uncountably so if X is infinite). Many of the vector spaces that arise in mathematics are subspaces of some function space. We give some further examples.
оң жақтағы операциялар V-дегі операциялар. Нөлдік векторды V-дегі нөлдік векторға барлық x-ті жіберіп тұратын тұрақты функция арқылы анықтаймыз. X-тен V-ге дейінгі барлық функциялар жиыны VX деп белгіленеді. Егер X шекті болса және V шекті өлшемді болса, онда VX-тың өлшемі |X|(dim V) болады, әйтпесе кеңістік шексіз өлшемді болады (X шексіз болса, онда ол санауға келмейтін). Математикада кездесетін көптеген векторлық кеңістіктер кейбір функциялық кеңістіктің ішкі кеңістіктері болып табылады. Біз тағы да бірнеше мысалдар келтірейік.
where the operations on the right hand side are those in V. The zero vector is given by the constant function sending everything to the zero vector in V. The space of all functions from X to V is commonly denoted VX. If X is finite and V is finite dimensional then VX has dimension |X|(dim V), otherwise the space is infinite dimensional (uncountably so if X is infinite). Many of the vector spaces that arise in mathematics are subspaces of some function space. We give some further examples.
Сызықтық карталар
Сызықтық алгебраның өзінде туындайтын маңызды мысал – сызықтық түрлендірулердің векторлық кеңістігі. L(V,W) V-ден W-ге дейінгі барлық сызықтық түрлендірулер жиыны болсын (екеуі де F өрісі үстіндегі векторлық кеңістіктер). Онда L(V,W) – WV-нің ішкі кеңістігі, себебі ол қосу және скалярлық көбейту операциялары бойынша жабық. L(Fn,Fm) кеңістігін Fm×n матрицалар кеңістігімен табиғи түрде сәйкестендіруге болады. Шындығында, V және W шекті өлшемді кеңістіктер үшін тиісті базистерді таңдау арқылы, L(V,W) да Fm×n-мен сәйкестендіріледі. Бұл сәйкестендіру әдетте таңдалған базиске тәуелді.
Тұрақты функциялар
Егер X – кез келген топологиялық кеңістік болса, мысалы, бірлік аралығы [0,1] сияқты, онда X-тен R-ге дейінгі барлық үздіксіз функциялар жиынының кеңістігін қарастыруға болады. Бұл, кез келген екі үздіксіз функцияның қосындысы үздіксіз болатындықтан және скалярлық көбейту үздіксіздікті сақтайтындықтан, RX-тің векторлық кіші кеңістігі болып табылады.
Дифференциалдық теңдеулер
Егер теңдеу сызықтық болса, R-ден R-ге дейінгі барлық функциялар кеңістігінің ішінде, белгілі бір дифференциалдық теңдеуді қанағаттандыратын (жеткілікті түрде дифференциалданатын) функциялардан тұратын жиын, RR-дің ішкі кеңістігі болып табылады. Бұл себебі дифференциация – сызықтық операция, яғни (a f + b g)' = a f' + b g', мұнда ' – дифференциация операторы.
Шекті векторлық кеңістіктер
Кез келген өрісте нөлдік өлшемді кеңістіктің тривиалды жағдайын ескермегенде, F өрісіндегі векторлық кеңістікте шекті санда элементтер болады, егер және тек қана F шекті өріс болса және векторлық кеңістіктің өлшемі шекті болса. Осылайша, бізде Fq болады – q элементі бар бірегей шекті өріс (изоморфизмге дейін). Мұнда q – жай санның дәрежесі болуы керек (q = pm, мұнда p – жай сан). Содан кейін, кез келген n өлшемді V кеңістігі Fq өрісінде qn элементке ие болады. V кеңістігіндегі элементтер саны да жай санның дәрежесі екенін ескеріңіз (өйткені жай санның дәрежесінің дәрежесі де жай санның дәрежесі болып табылады). Мұндай кеңістіктің негізгі мысалы – координаттық кеңістік (Fq)n. Бұл векторлық кеңістіктер шекті топтардың бейнелеу теориясында, сандар теориясында және криптографияда маңызды рөл атқарады.
These vector spaces are of critical importance in the representation theory of finite groups, number theory, and cryptography.