Введение

На этой странице приведены некоторые примеры векторных пространств. См. статью «Векторное пространство» для определений терминов, используемых на этой странице. См. также: размерность, базис. Обозначения. Пусть F обозначает произвольное поле, например, поле действительных чисел R или поле комплексных чисел C.

Тривиальное или нулевое векторное пространство

Самый простой пример векторного пространства — тривиальное пространство {0}, содержащее только нулевой вектор (см. третью аксиому в статье «Векторное пространство»). Как сложение векторов, так и скалярное умножение в нём тривиальны. Базисом для этого векторного пространства является пустое множество, поэтому {0} является векторным пространством размерности 0 над полем F. Любое векторное пространство над полем F содержит подпространство, изоморфное этому. Нулевое векторное пространство концептуально отличается от ядра линейного оператора L. (К слову, ядро оператора L является нулевым пространством тогда и только тогда, когда L инъективен.)

Поле

Следующий простейший пример — это само поле F. Сложение векторов — это просто сложение в поле, а умножение на скаляр — просто умножение в поле. Это свойство можно использовать для доказательства того, что поле является векторным пространством. Любой ненулевой элемент поля F служит базисом, поэтому F является одномерным векторным пространством над собой. Поле — это довольно особое векторное пространство; фактически, это самый простой пример коммутативной алгебры над F. Кроме того, поле F имеет только два подпространства: {0} и само F.

Бесконечное пространство координат

Пусть F∞ обозначает пространство бесконечных последовательностей элементов из F, таких что только конечное число элементов отлично от нуля. То есть, если элемент F∞ записан как

только конечное число xi не равно нулю (то есть, координаты становятся все равными нулю, начиная с некоторого места). Сложение и скалярное умножение определяются так же, как в конечномерном координатном пространстве. Размерность F∞ счётно бесконечна. Стандартный базис состоит из векторов ei, которые имеют 1 в i-й позиции и нули в остальных. Это векторное пространство является копроизведением (или прямой суммой) счётного числа копий векторного пространства F.

Важно отметить роль условия конечности. Можно рассмотреть произвольные последовательности элементов из F, которые также образуют векторное пространство с теми же операциями, часто обозначаемое FN (см. ниже). FN является произведением счётного числа копий F.

По лемме Зорна, FN имеет базис (хотя очевидного базиса нет). В этом базисе содержится несчётное число элементов. Поскольку размерности различны, FN не изоморфно F∞. Стоит отметить, что FN (изоморфно) двойственному пространству к F∞, поскольку линейное отображение T из F∞ в F однозначно определяется своими значениями T(ei) на базисных векторах F∞, и эти значения могут быть любыми. Таким образом, можно увидеть, что бесконечномерное векторное пространство не обязательно изоморфно своему двойственному к двойственному, в отличие от конечномерного случая.

Произведение векторных пространств

Начиная с n векторных пространств или счетного бесконечного множества таких пространств, каждое из которых определено над одним и тем же полем, мы можем определить пространство произведения аналогичным образом.

Матрицы

Пусть Fm×n обозначает множество m×n матриц с элементами из F. Тогда Fm×n является векторным пространством над F. Сложение векторов – это просто сложение матриц, а скалярное умножение определяется естественным образом (путем умножения каждого элемента на один и тот же скаляр). Нулевой вектор – это нулевая матрица. Размерность Fm×n равна mn. Одним из возможных базисов являются матрицы, содержащие единственную единицу и все остальные элементы равны нулю. Когда m = n, матрица является квадратной, и перемножение двух таких матриц дает третью матрицу. Это векторное пространство размерности n2 образует алгебру над полем.

Одна переменная

Множество многочленов с коэффициентами в F представляет собой векторное пространство над F, обозначаемое F[x]. Сложение многочленов и умножение на скаляр определены естественным образом. Если степень многочленов не ограничена, то размерность F[x] счётно бесконечна. Если же рассматривать только многочлены со степенью, не превосходящей n, то мы получаем векторное пространство размерности n + 1. Одним из возможных базисов для F[x] является базис из мономов: координаты многочлена относительно этого базиса – это его коэффициенты, а отображение, сопоставляющее многочлену последовательность его коэффициентов, является линейным изоморфизмом из F[x] в бесконечномерное пространство координат F∞. Векторное пространство многочленов с действительными коэффициентами и степенью, не превосходящей n, часто обозначается Pn.

Несколько переменных

Множество многочленов от нескольких переменных с коэффициентами из поля F является векторным пространством над F, обозначаемым F[x1, x2, ..., xr]. Здесь r – число переменных.

Функциональные пространства

См. основную статью «Функциональное пространство», особенно раздел «Функциональный анализ». Пусть X — непустое произвольное множество, а V — произвольное векторное пространство над полем F. Пространство всех функций из X в V является векторным пространством над полем F относительно поточечного сложения и умножения. То есть, пусть f : X → V и g : X → V обозначают две функции, и пусть α ∈ F. Определим:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(αf)(x) = αf(x)

где операции в правой части — это операции в V. Нулевым вектором является постоянная функция, отображающая каждый элемент в нулевой вектор в V. Пространство всех функций из X в V обычно обозначается VX. Если X конечно, а V конечномерно, то размерность VX равна |X| ⋅ dim V, иначе пространство бесконечномерно (несчетно бесконечномерно, если X бесконечно). Многие векторные пространства, возникающие в математике, являются подпространствами некоторого функционального пространства. Приведем несколько дополнительных примеров.

Линейные карты

Важным примером, возникающим в контексте самой линейной алгебры, является векторное пространство линейных отображений. Обозначим L(V, W) множество всех линейных отображений из V в W (оба из которых являются векторными пространствами над F). Тогда L(V, W) является подпространством пространства функций из V в W, поскольку оно замкнуто относительно сложения и умножения на скаляр. Отметим, что L(Fn, Fm) можно естественным образом отождествить с пространством матриц Fm×n. Фактически, выбрав подходящие базисы для конечномерных пространств V и W, L(V, W) также можно отождествить с Fm×n. При этом отождествление обычно зависит от выбора базиса.

Непрерывные функции

Если X – некоторое топологическое пространство, например, единичный интервал [0,1], то можно рассматривать пространство всех непрерывных функций из X в R. Это векторное подпространство RX, так как сумма любых двух непрерывных функций является непрерывной, а умножение на скаляр – непрерывным.

Дифференциальные уравнения

Подмножество пространства всех функций из R в R, состоящее из (достаточно дифференцируемых) функций, удовлетворяющих определенному дифференциальному уравнению, является подпространством RR, если это уравнение линейное. Это происходит потому, что дифференцирование — линейная операция, то есть (a f + b g)' = a f' + b g', где ' обозначает оператор дифференцирования.

Конечные векторные пространства

Помимо тривиального случая пространства нулевой размерности над любым полем, векторное пространство над полем F имеет конечное число элементов тогда и только тогда, когда F является конечным полем, а векторное пространство имеет конечную размерность. Таким образом, существует Fq, единственное (с точностью до изоморфизма) конечное поле с q элементами. Здесь q должно быть степенью простого числа (q = p^m, где p – простое число). Тогда любое n-мерное векторное пространство V над Fq будет иметь q^n элементов. Обратите внимание, что число элементов в V также является степенью простого числа (поскольку степень степени простого числа снова является степенью простого числа). Основным примером такого пространства является координатное пространство (Fq)^n. Эти векторные пространства имеют решающее значение в теории представлений конечных групп, теории чисел и криптографии.