Көп дене проблемасы: Астрономиядағы классикалық тәсілдер
Perturbation (astronomy)
Астрономиядағы көп дене проблемасы: бұрылыстар, үлкен денелердің тартылысы, математикалық есептеулер, Ай мен планеталардың қозғалысы. Нақты кестелерді табу.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Астрономияның көп денелік проблемасына классикалық көзқарас
Classical approach to the many body problem of astronomy
Астрономияда, бұзылыс – бір ғана ірі дененің гравитациялық тартылысынан басқа күштерге ұшыраған ірі дененің күрделі қозғалысы. Басқа күштерге үшінші (төртінші, бесінші, т.б.) дене, қарсылық (мысалы, атмосферадан), және пішіні дұрыс емес немесе қисайған дененің тартылысы жатуы мүмкін. Содан бері көптеген көрнекті математиктер осы мәселелерге назар аударды; 18 және 19 ғасырларда теңіздік навигация үшін Ай мен планеталардың орналасуының дәл кестелеріне қажеттілік болды. Гравитациялық бұзылыстардың күрделі қозғалыстарын бөліп қарастыруға болады. Дене бір ғана басқа дененің гравитациялық әсерінен туындайтын гипотетикалық қозғалысы конустық қима болып табылады және оны геометриялық терминдермен сипаттауға болады. Бұл екі дене проблемасы немесе бұзылмаған Кеплер орбитасы деп аталады. Дененің нақты қозғалысы мен оның арасындағы айырмашылықтар – қалған денелердің немесе денелердің қосымша гравитациялық әсерінен туындайтын бұзылыстар болып табылады. Егер басқа бір ғана маңызды дене болса, бұзылған қозғалыс үш дене проблемасы болып табылады; егер басқа көп денелер болса, онда ол n дене проблемасы болып табылады. Екі дене проблемасы үшін жалпы аналитикалық шешім (келешектегі кез келген уақыттағы орналасуын және қозғалысын болжауға арналған математикалық өрнек) бар; егер екі дененің артық қарастырылса, аналитикалық шешімдер тек ерекше жағдайларда ғана қолданылады. Тіпті екі дене проблемасы да егер денелердің біреуінің пішіні дұрыс болмаса, шешілмейтін болады. Көптеген гравитациялық тартылыс күштері бар жүйелерде әсері басым бір негізгі дене болады (мысалы, жұлдыз және оның планетасы немесе планета және оның серігі жағдайында). Басқа денелердің гравитациялық әсерлерін планетаның немесе серіктің негізгі денесінің айналысындағы гипотетикалық бұзылмаған қозғалысының бұзылысы ретінде қарастыруға болады.
In astronomy, perturbation is the complex motion of a massive body subjected to forces other than the gravitational attraction of a single other massive body. The other forces can include a third (fourth, fifth, etc.) body, resistance, as from an atmosphere, and the off center attraction of an oblate or otherwise misshapen body. Many of the great mathematicians since then have given attention to the various problems involved; throughout the 18th and 19th centuries there was demand for accurate tables of the position of the Moon and planets for marine navigation. The complex motions of gravitational perturbations can be broken down. The hypothetical motion that the body follows under the gravitational effect of one other body only is a conic section, and can be described in geometrical terms. This is called a two body problem, or an unperturbed Keplerian orbit. The differences between that and the actual motion of the body are perturbations due to the additional gravitational effects of the remaining body or bodies. If there is only one other significant body then the perturbed motion is a three body problem; if there are multiple other bodies it is an n body problem. A general analytical solution (a mathematical expression to predict the positions and motions at any future time) exists for the two body problem; when more than two bodies are considered analytic solutions exist only for special cases. Even the two body problem becomes insoluble if one of the bodies is irregular in shape. Most systems that involve multiple gravitational attractions present one primary body which is dominant in its effects (for example, a star, in the case of the star and its planet, or a planet, in the case of the planet and its satellite). The gravitational effects of the other bodies can be treated as perturbations of the hypothetical unperturbed motion of the planet or satellite around its primary body.
Жалпы қобалжыулар
Жалпы бұзылыстар әдістерінде, қозғалыс немесе орбиталық элементтердің өзгеруі сияқты жалпы дифференциалдық теңдеулер көбінесе сериялық кеңею арқылы аналитикалық түрде шешіледі. Нәтиже әдетте, зерттеліп отырған дененің және бұзылыс тудыратын денелердің орбиталық элементтерінің алгебралық және тригонометриялық функциялары түрінде беріледі. Бұл әртүрлі жағдайларға қолданыла алады және нақты гравитациялық денелер жиынтығымен шектелмейді. Тарихи тұрғыдан алғанда, жалпы бұзылыстар бірінші болып зерттелді. Классикалық әдістер элементтердің өзгеруі, параметрлердің өзгеруі немесе интеграция тұрақтыларының өзгеруі деп белгілі. Бұл әдістерде дене әрқашан коникалық қимада қозғалады деп есептеледі, бірақ коникалық қима бұзылыстардың әсерінен үнемі өзгереді. Егер барлық бұзылыстар кез келген сәтте тоқтаса, дене осы (енді өзгермейтін) коникалық қимада шексіздікке дейін қозғала береді; бұл коникалық қима оскуляциялық орбита деп аталады, ал оның орбиталық элементтері жалпы бұзылыстар әдістерімен кез келген уақытта ізделеді. Іс жүзінде, жағдайлар мен жылдамдықтар тікелей бұзылады, ал орбита қисықтарын немесе орбиталық элементтерді есептеуге тырысылмайды. Арнайы бұзылыстарды аспан механикасының кез келген мәселесіне қолдануға болады, өйткені олар бұзылыс күштерінің шағын болған жағдайларымен шектелмейді. Арнайы бұзылыстар компьютерлерде орбитаны модельдеу үшін де қолданылады.
In methods of general perturbations, general differential equations, either of motion or of change in the orbital elements, are solved analytically, usually by series expansions. The result is usually expressed in terms of algebraic and trigonometric functions of the orbital elements of the body in question and the perturbing bodies. This can be applied generally to many different sets of conditions, and is not specific to any particular set of gravitating objects. Historically, general perturbations were investigated first. The classical methods are known as variation of the elements, variation of parameters or variation of the constants of integration. In these methods, it is considered that the body is always moving in a conic section, however the conic section is constantly changing due to the perturbations. If all perturbations were to cease at any particular instant, the body would continue in this (now unchanging) conic section indefinitely; this conic is known as the osculating orbit and its orbital elements at any particular time are what are sought by the methods of general perturbations. In effect, the positions and velocities are perturbed directly, and no attempt is made to calculate the curves of the orbits or the orbital elements. Special perturbations can be applied to any problem in celestial mechanics, as it is not limited to cases where the perturbing forces are small. Special perturbations are also used for modeling an orbit with computers.
Коуэлл формуласы
Коуэлл формуласы (Филип Х. Коуэллдің атымен аталып, ол А. К. Д. Кромэллинмен бірге Галлей кометасының қайта оралуын болжау үшін ұқсас әдіс қолданған) – бұл, мүмкін, ерекше бұзылыс әдістерінің ең қарапайым түрі. Өзара әрекеттесетін денелер жүйесінде бұл әдіс денеге түсетін Ньютон күштерін математикалық түрде шешеді, басқа денелердің жеке-жеке әрекеттерін қосу арқылы:
Cowell's formulation (so named for Philip H. Cowell, who, with A. C. D. Cromellin, used a similar method to predict the return of Halley's comet) is perhaps the simplest of the special perturbation methods. In a system of mutually interacting bodies, this method mathematically solves for the Newtonian forces on body by summing the individual interactions from the other bodies:
мұнда – дененің үдеу векторы, – гравитациялық тұрақты, – дененің массасы, ал және – нысандардың орналасу векторлары, сәйкесінше, және – нысаннан нысанға дейінгі қашықтық, барлық векторлар жүйенің барицентріне шақталған. Бұл теңдеу координаталар бойынша жіктеледі және жаңа жылдамдық пен орналасу векторларын алу үшін сандық интегралдау қолданылады. Бұл процесс қажеттілікке қарай қайталанады. Коуэлл әдісінің артықшылығы – қолдану және бағдарламалаудың қарапайымдығы. Кемшілігі – бұзылыстардың шамасы үлкен болғанда (мысалы, бір дене екіншісіне жақын келгенде) әдістің қателіктері де артады. Алайда, аспан механикасының көптеген мәселелерінде мұндай жағдай тумайды. Тағы бір кемшілігі – Күн сияқты үстем орталық дене бар жүйелерде орталық дене мен бұзылатын денелердің күштері арасындағы үлкен айырмашылыққа байланысты арифметикада көптеген маңызды таңбаларды сақтау қажет, бірақ қазіргі заманғы компьютерлерге енгізілген жоғары дәлдікті сандар бұл мәселені бұрынғыдай шектемейді.
where is the acceleration vector of body , is the gravitational constant, is the mass of body , and are the position vectors of objects and respectively, and is the distance from object to object , all vectors being referred to the barycenter of the system. This equation is resolved into components in and and these are integrated numerically to form the new velocity and position vectors. This process is repeated as many times as necessary. The advantage of Cowell's method is ease of application and programming. A disadvantage is that when perturbations become large in magnitude (as when an object makes a close approach to another) the errors of the method also become large. However, for many problems in celestial mechanics, this is never the case. Another disadvantage is that in systems with a dominant central body, such as the Sun, it is necessary to carry many significant digits in the arithmetic because of the large difference in the forces of the central body and the perturbing bodies, although with high precision numbers built into modern computers this is not as much of a limitation as it once was.
Мерзімділік сипаты
Күн жүйесінде бір планетаның екінші планетаға тигізетін көптеген бұзылыстары кезеңді болып табылады, олар әр планета орбитасында екінші планетаны өтетін сайын шағын импульстардан тұрады. Бұл денелердің қозғалысын кезеңді немесе квази-кезеңді етуіне себеп болады, мысалы, Айдың күшті бұзылған орбитасындағы қозғалысы, бұл айлық теорияның тақырыбы болып табылады. Осы кезеңділік қасиеті 1846 жылы Уран орбитасының бұзылыстары нәтижесінде Нептунның табылуына әкелді. Планеталардың өзара бұзылыстары олардың орбиталық элементтерінде ұзақ мерзімді квази-кезеңді өзгерістерге себеп болады, бұл екі планетаның орбиталық кезеңдері шамалы үйлесім тапқанда ең анық байқалады. Мысалы, Юпитердің 5 орбитасы (59,31 жыл) Сатурнның 2 орбитасына (58,91 жыл) шамалы тең. Бұл екеуінің де үлкен бұзылыстарына әкеледі, олардың арасындағы 918 жылдық кезең, Лаплас бірінші рет тапқандай, олардың қосылғандағы орналасуындағы шағын айырмашылықтың бір толық шеңбер жасауына қажетті уақыт. Күн жүйесінің көптеген шағын денелерінің, мысалы, кометалардың орбиталары көбінесе қатты бұзылады, әсіресе газды алып планеталардың гравитациялық өрістерінің әсерінен. Бұл бұзылыстардың көпшілігі кезеңді болғанымен, кейбіреулері емес, және олар хаотикалық қозғалыстың белгілі бір аспектілерін көрсетеді. Мысалы, 1996 жылдың сәуір айында Юпитердің гравитациялық әсері Хале-Бопп кометасының орбиталық кезеңін 4206 жылдан 2380 жылға дейін қысқартты, бұл өзгеріс ешқандай кезеңділік бойынша қайта оралмайды.
In the Solar System, many of the disturbances of one planet by another are periodic, consisting of small impulses each time a planet passes another in its orbit. This causes the bodies to follow motions that are periodic or quasi periodic – such as the Moon in its strongly perturbed orbit, which is the subject of lunar theory. This periodic nature led to the discovery of Neptune in 1846 as a result of its perturbations of the orbit of Uranus. On going mutual perturbations of the planets cause long term quasi periodic variations in their orbital elements, most apparent when two planets' orbital periods are nearly in sync. For instance, five orbits of Jupiter (59.31 years) is nearly equal to two of Saturn (58.91 years). This causes large perturbations of both, with a period of 918 years, the time required for the small difference in their positions at conjunction to make one complete circle, first discovered by Laplace. The orbits of many of the minor bodies of the Solar System, such as comets, are often heavily perturbed, particularly by the gravitational fields of the gas giants. While many of these perturbations are periodic, others are not, and these in particular may represent aspects of chaotic motion. For example, in April 1996, Jupiter's gravitational influence caused the period of Comet Hale–Bopp's orbit to decrease from 4,206 to 2,380 years, a change that will not revert on any periodic basis.