Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Классический подход к задаче многих тел в астрономии
Classical approach to the many body problem of astronomy
В астрономии возмущением называется сложное движение массивного тела, испытывающего силы, отличные от гравитационного притяжения только одного другого массивного тела. Эти силы могут включать в себя притяжение третьего (четвертого, пятого и т.д.) тела, сопротивление среды, например, атмосферы, а также притяжение от нецентрированного центра масс несферического или деформированного тела. Многие выдающиеся математики с тех пор уделяли внимание различным проблемам, связанным с этим; в течение 18-го и 19-го веков существовал спрос на точные таблицы положений Луны и планет для морской навигации. Сложные движения, вызванные гравитационными возмущениями, можно разложить на составляющие. Гипотетическое движение тела под воздействием гравитации только одного другого тела представляет собой коническое сечение и может быть описано геометрически. Это называется задачей двух тел, или невозмущенной кеплеровской орбитой. Различия между этим и фактическим движением тела являются возмущениями, обусловленными дополнительными гравитационными эффектами остальных тел. Если присутствует только одно другое значимое тело, то возмущенное движение представляет собой задачу трех тел; если тел несколько, то это задача n тел. Для задачи двух тел существует общее аналитическое решение (математическое выражение для предсказания положений и движений в любой момент времени); при рассмотрении более двух тел аналитические решения существуют только для частных случаев. Даже задача двух тел становится неразрешимой, если одно из тел имеет неправильную форму. В большинстве систем, включающих множественные гравитационные притяжения, выделяется одно основное тело, доминирующее по своим эффектам (например, звезда в случае звезды и ее планеты, или планета в случае планеты и ее спутника). Гравитационное воздействие остальных тел можно рассматривать как возмущения гипотетического невозмущенного движения планеты или спутника вокруг основного тела.
In astronomy, perturbation is the complex motion of a massive body subjected to forces other than the gravitational attraction of a single other massive body. The other forces can include a third (fourth, fifth, etc.) body, resistance, as from an atmosphere, and the off center attraction of an oblate or otherwise misshapen body. Many of the great mathematicians since then have given attention to the various problems involved; throughout the 18th and 19th centuries there was demand for accurate tables of the position of the Moon and planets for marine navigation. The complex motions of gravitational perturbations can be broken down. The hypothetical motion that the body follows under the gravitational effect of one other body only is a conic section, and can be described in geometrical terms. This is called a two body problem, or an unperturbed Keplerian orbit. The differences between that and the actual motion of the body are perturbations due to the additional gravitational effects of the remaining body or bodies. If there is only one other significant body then the perturbed motion is a three body problem; if there are multiple other bodies it is an n body problem. A general analytical solution (a mathematical expression to predict the positions and motions at any future time) exists for the two body problem; when more than two bodies are considered analytic solutions exist only for special cases. Even the two body problem becomes insoluble if one of the bodies is irregular in shape. Most systems that involve multiple gravitational attractions present one primary body which is dominant in its effects (for example, a star, in the case of the star and its planet, or a planet, in the case of the planet and its satellite). The gravitational effects of the other bodies can be treated as perturbations of the hypothetical unperturbed motion of the planet or satellite around its primary body.
Общие возмущения
В методах общего возмущения общие дифференциальные уравнения, описывающие либо движение, либо изменение орбитальных элементов, решаются аналитически, как правило, с помощью разложений в ряды. Результат обычно выражается через алгебраические и тригонометрические функции орбитальных элементов рассматриваемого тела и возмущающих тел. Этот подход применим к широкому спектру условий и не специфичен для какого-либо конкретного набора гравитирующих объектов. Исторически, именно общие возмущения были исследованы первыми. Классические методы известны как вариация элементов, вариация параметров или вариация констант интегрирования. В этих методах предполагается, что тело всегда движется по коническому сечению, однако само коническое сечение постоянно изменяется под действием возмущений. Если бы все возмущения прекратились в какой-либо момент времени, тело продолжало бы двигаться по этому (теперь уже неизменному) коническому сечению бесконечно долго; это коническое сечение называется мгновенной орбитой, и её орбитальные элементы в любой момент времени являются целью методов общего возмущения. По сути, положения и скорости определяются непосредственно с учетом возмущений, и не предпринимается попыток вычислить траектории орбит или орбитальные элементы. Специальные возмущения могут быть применены к любой задаче небесной механики, поскольку они не ограничиваются случаями малых возмущающих сил. Специальные возмущения также используются для моделирования орбит с помощью компьютеров.
In methods of general perturbations, general differential equations, either of motion or of change in the orbital elements, are solved analytically, usually by series expansions. The result is usually expressed in terms of algebraic and trigonometric functions of the orbital elements of the body in question and the perturbing bodies. This can be applied generally to many different sets of conditions, and is not specific to any particular set of gravitating objects. Historically, general perturbations were investigated first. The classical methods are known as variation of the elements, variation of parameters or variation of the constants of integration. In these methods, it is considered that the body is always moving in a conic section, however the conic section is constantly changing due to the perturbations. If all perturbations were to cease at any particular instant, the body would continue in this (now unchanging) conic section indefinitely; this conic is known as the osculating orbit and its orbital elements at any particular time are what are sought by the methods of general perturbations. In effect, the positions and velocities are perturbed directly, and no attempt is made to calculate the curves of the orbits or the orbital elements. Special perturbations can be applied to any problem in celestial mechanics, as it is not limited to cases where the perturbing forces are small. Special perturbations are also used for modeling an orbit with computers.
Формулировка Коуэлла
Формулировка Коуэлла (названная в честь Филиппа Х. Коуэлла, который вместе с А. К. Д. Кромеллином использовал аналогичный метод для предсказания возвращения кометы Галлея) является, пожалуй, самым простым из методов частных возмущений. В системе взаимно взаимодействующих тел этот метод математически определяет ньютоновские силы, действующие на тело, путем суммирования индивидуальных взаимодействий со стороны остальных тел:
Cowell's formulation (so named for Philip H. Cowell, who, with A. C. D. Cromellin, used a similar method to predict the return of Halley's comet) is perhaps the simplest of the special perturbation methods. In a system of mutually interacting bodies, this method mathematically solves for the Newtonian forces on body by summing the individual interactions from the other bodies:
где – вектор ускорения тела, – гравитационная постоянная, – масса тела, и – векторы положения объектов и соответственно, а – расстояние от объекта до объекта , при этом все векторы отнесены к барицентру системы. Это уравнение раскладывается на компоненты по и и затем численно интегрируется для получения новых векторов скорости и положения. Этот процесс повторяется столько раз, сколько необходимо. Преимущество метода Коуэлла – простота применения и программирования. Недостаток заключается в том, что при увеличении величины возмущений (например, при сближении объектов) ошибки метода также возрастают. Однако для многих задач небесной механики этого не происходит. Другой недостаток состоит в том, что в системах с доминирующим центральным телом, таким как Солнце, требуется использовать большое количество значащих цифр в вычислениях из-за существенной разницы в силах центрального тела и возмущающих тел, хотя благодаря высокой точности чисел, реализованной в современных компьютерах, это ограничение уже не так значительно, как раньше.
where is the acceleration vector of body , is the gravitational constant, is the mass of body , and are the position vectors of objects and respectively, and is the distance from object to object , all vectors being referred to the barycenter of the system. This equation is resolved into components in and and these are integrated numerically to form the new velocity and position vectors. This process is repeated as many times as necessary. The advantage of Cowell's method is ease of application and programming. A disadvantage is that when perturbations become large in magnitude (as when an object makes a close approach to another) the errors of the method also become large. However, for many problems in celestial mechanics, this is never the case. Another disadvantage is that in systems with a dominant central body, such as the Sun, it is necessary to carry many significant digits in the arithmetic because of the large difference in the forces of the central body and the perturbing bodies, although with high precision numbers built into modern computers this is not as much of a limitation as it once was.
Периодический характер
В Солнечной системе многие возмущения, вызываемые одной планетой на другую, носят периодический характер, проявляясь в виде небольших импульсов каждый раз, когда планета сближается с другой на своей орбите. Это приводит к тому, что тела движутся по периодическим или квазипериодическим траекториям, как, например, Луна на сильно возмущенной орбите, являющейся предметом лунной теории. Именно эта периодичность привела к открытию Нептуна в 1846 году благодаря его возмущениям орбиты Урана. Продолжающиеся взаимные возмущения планет вызывают долгосрочные квазипериодические изменения в их орбитальных элементах, наиболее заметные, когда орбитальные периоды двух планет почти синхронизированы. Например, пять периодов обращения Юпитера (59,31 года) почти равны двум периодам обращения Сатурна (58,91 года). Это вызывает значительные возмущения обеих планет с периодом 918 лет – время, необходимое для того, чтобы небольшая разница в их положениях в момент соединения совершила полный оборот, что впервые было обнаружено Лапласом. Орбиты многих малых тел Солнечной системы, таких как кометы, часто подвергаются сильным возмущениям, особенно под воздействием гравитационных полей газовых гигантов. В то время как многие из этих возмущений периодичны, другие – нет, и именно они могут отражать аспекты хаотического движения. Например, в апреле 1996 года гравитационное влияние Юпитера привело к уменьшению периода обращения кометы Хейла-Боппа с 4206 до 2380 лет, и это изменение не повторится каким-либо периодическим образом.
In the Solar System, many of the disturbances of one planet by another are periodic, consisting of small impulses each time a planet passes another in its orbit. This causes the bodies to follow motions that are periodic or quasi periodic – such as the Moon in its strongly perturbed orbit, which is the subject of lunar theory. This periodic nature led to the discovery of Neptune in 1846 as a result of its perturbations of the orbit of Uranus. On going mutual perturbations of the planets cause long term quasi periodic variations in their orbital elements, most apparent when two planets' orbital periods are nearly in sync. For instance, five orbits of Jupiter (59.31 years) is nearly equal to two of Saturn (58.91 years). This causes large perturbations of both, with a period of 918 years, the time required for the small difference in their positions at conjunction to make one complete circle, first discovered by Laplace. The orbits of many of the minor bodies of the Solar System, such as comets, are often heavily perturbed, particularly by the gravitational fields of the gas giants. While many of these perturbations are periodic, others are not, and these in particular may represent aspects of chaotic motion. For example, in April 1996, Jupiter's gravitational influence caused the period of Comet Hale–Bopp's orbit to decrease from 4,206 to 2,380 years, a change that will not revert on any periodic basis.