Кіріспе
Сызықтық алгебрадағы ұғым
жалпы ұғымдар
Вектордың 'a' нөлден өзгеше 'b' векторына (немесе оған) векторлық проекциясы (векторлық компонент немесе векторлық жіктеу деп те аталады) – 'a' векторының 'b' векторына параллель түзуге ортогональды проекциясы. 'a'-ның 'b'-ға проекциясы көбінесе немесе 'a'∥'b' деп жазылады. 'a' векторының 'b'-ға перпендикуляр компоненті немесе векторы, кейде 'a' векторының 'b' векторынан шығарылуы (a⊥'b' деп белгіленеді) – 'a' векторының 'b'-ға перпендикуляр жазықтыққа (немесе, жалпы алғанда, гипержазықтыққа) ортогональды проекциясы. Екеуі де вектор болғандықтан және олардың қосындысы 'a'-ға тең болғандықтан, 'a'-ны 'b'-дан шығару:
more general concepts
The vector projection (also known as the vector component or vector resolution) of a vector 'a' on (or onto) a nonzero vector 'b' is the orthogonal projection of 'a' onto a straight line parallel to 'b'. The projection of 'a' onto 'b' is often written as or 'a'∥'b'. The vector component or vector resolute of 'a' perpendicular to 'b', sometimes also called the vector rejection of 'a' from 'b' (denoted or 'a'⊥'b'), is the orthogonal projection of 'a' onto the plane (or, in general, hyperplane) that is orthogonal to 'b'. Since both and are vectors, and their sum is equal to 'a', the rejection of 'a' from 'b' is given by:
Жазуды жеңілдету үшін, бұл мақалада және деп анықтайды.
Осылайша, векторы векторына параллель, ал векторы векторына ортогональ.
Thus, the vector is parallel to the vector is orthogonal to and
'a'-ның 'b'-ға проекциясын бағыт пен скалярлық шамаға бөлуге болады, оны түрлендіру арқылы, мұнда – 'a'-ның 'b'-ға скалярлық проекциясы деп аталатын скаляр, ал 'b̂' – 'b' бағытындағы бірлік вектор. Скалярлық проекция мына түрде анықталады:
where is a scalar, called the scalar projection of 'a' onto 'b', and 'b̂' is the unit vector in the direction of 'b'. The scalar projection is defined as
мұнда ⋅ операторы скалярлық көбейтіндіні, ‖a‖ – 'a' векторының ұзындығын, ал θ – 'a' мен 'b' арасындағы бұрышты білдіреді. Скалярлық проекцияның абсолюттік мәні векторлық проекцияның ұзындығына тең, егер проекция бағыты 'b' бағытына қарама-қарсы болса, яғни векторлар арасындағы бұрыш 90 градустан артық болса, онда минус таңбасы қойылады. Векторлық проекцияны және скалярлық көбейтіндісі арқылы есептеуге болады:
Нөмірлік
Бұл мақалада векторлар қалың шрифтпен (мысалы, **a**1) белгіленеді, ал скалярлар – қалыпты шрифтпен (мысалы, a1). Векторлар **a** мен **b** нүктелік көбейтіндісі жазылады , **a** векторының нормасы ‖**a**‖ деп белгіленеді, ал **a** мен **b** арасындағы бұрыш θ деп таңбаланады.
Скалярлық лақтыру
Екі өлшемде скалярлық кері проекция "a" векторының 90° солға бұрылған проекциясына тең. Сондықтан, мұндай нүктелік көбейтінді "перп нүктелік көбейтінді" деп аталады.
Such a dot product is called the "perp dot product."
Матрицалық бейнелеу
Ортогональды проекцияны проекция матрицасымен бейнелеуге болады. 1='a' = (ax, ay, az) бірлік векторына векторды проекциялау үшін, оны осы проекция матрицасымен көбейту керек.
Қолданылуы
Векторлық проекция – векторлық кеңістік негіздерін Грам-Шмидт ортонормалдау кезіндегі маңызды амал. Сонымен қатар, екі дөңгелек пішіннің қиылысатындығын анықтау үшін бөліп тұратын ось теоремасында қолданылады.
Жалпылау
Вектор ұзындығы және векторлар арасындағы бұрыш ұғымдарын кез келген n өлшемді ішкі өнім кеңістігіне жалпылауға болатындықтан, бұл вектордың ортогональды проекциясы, вектордың басқа векторға проекциясы және вектордың басқа вектордан қабылдамау ұғымдары үшін де осыған қатысты. Кейбір жағдайларда ішкі өнім нүктелік өніммен сәйкес келеді. Егер олар сәйкес келмесе, проекция мен қабылдамаудың формальды анықтамаларында нүктелік өнімнің орнына ішкі өнім қолданылады. Үш өлшемді ішкі өнім кеңістігі үшін векторды басқа векторға проекциялау және векторды басқа вектордан қабылдамау ұғымдарын векторды жазықтыққа проекциялау және векторды жазықтықтан қабылдамау ұғымдарына кеңейтуге болады. Вектордың жазықтықтағы проекциясы – оның сол жазықтықтағы ортогональды проекциясы. Векторды жазықтықтан қабылдамау – оның сол жазықтыққа перпендикуляр түзудегі ортогональды проекциясы. Екеуі де векторлар. Біріншісі жазықтыққа параллель, екіншісі перпендикуляр. Берілген вектор және жазықтық үшін проекция мен қабылдамаудың қосындысы бастапқы векторға тең. Сол сияқты, үш өлшемнен артық ішкі өнім кеңістіктері үшін векторға проекциялау және вектордан қабылдамау ұғымдарын гипержазықтыққа проекциялау және гипержазықтықтан қабылдамау ұғымдарына кеңейтуге болады. Геометриялық алгебрада оларды кез келген инвертирленген k-қиырға проекциялау және қабылдамау ұғымдарына одан әрі кеңейтуге болады.