Введение
Концепция в линейной алгебре
более общие концепции
Векторная проекция (также известная как векторная составляющая или векторное разложение) вектора 'a' на (или на) ненулевой вектор 'b' является ортогональной проекцией 'a' на прямую, параллельную 'b'. Проекция 'a' на 'b' часто записывается как или 'a'∥'b'. Векторная составляющая вектора 'a', перпендикулярная 'b', иногда также называемая векторным отклонением 'a' от 'b' (обозначается или 'a'⊥'b'), является ортогональной проекцией 'a' на плоскость (или, в общем случае, гиперплоскость), ортогональную 'b'. Поскольку и являются векторами, и их сумма равна 'a', отклонение 'a' от 'b' задается следующим образом:
more general concepts
The vector projection (also known as the vector component or vector resolution) of a vector 'a' on (or onto) a nonzero vector 'b' is the orthogonal projection of 'a' onto a straight line parallel to 'b'. The projection of 'a' onto 'b' is often written as or 'a'∥'b'. The vector component or vector resolute of 'a' perpendicular to 'b', sometimes also called the vector rejection of 'a' from 'b' (denoted or 'a'⊥'b'), is the orthogonal projection of 'a' onto the plane (or, in general, hyperplane) that is orthogonal to 'b'. Since both and are vectors, and their sum is equal to 'a', the rejection of 'a' from 'b' is given by:
Для упрощения обозначений в этой статье определим и
Таким образом, вектор параллелен вектору , а вектор ортогонален вектору .
Thus, the vector is parallel to the vector is orthogonal to and
Проекцию 'a' на 'b' можно разложить на направление и скалярную величину, записав её как
где – скаляр, называемый скалярной проекцией 'a' на 'b', а 'b̂' – единичный вектор в направлении 'b'. Скалярная проекция определяется как
where is a scalar, called the scalar projection of 'a' onto 'b', and 'b̂' is the unit vector in the direction of 'b'. The scalar projection is defined as
где оператор ⋅ обозначает скалярное произведение, ‖a‖ – длина 'a', а θ – угол между 'a' и 'b'. Скалярная проекция равна по абсолютной величине длине векторной проекции, с отрицательным знаком, если направление проекции противоположно направлению 'b', то есть если угол между векторами больше 90 градусов. Векторную проекцию можно вычислить, используя скалярное произведение и как:
Обозначение
В этой статье принято обозначать векторы полужирным шрифтом (например, **a**), а скаляры — обычным шрифтом (например, a). Скалярное произведение векторов **a** и **b** записывается как **a** · **b**, норма вектора **a** — как ‖**a**‖, а угол между векторами **a** и **b** — как θ.
Скалярный отторг
В двух измерениях скалярное отторжение эквивалентно проекции вектора 'a' на вектор , повернутой на 90° влево. Следовательно, такое скалярное произведение называется "perp dot product".
Such a dot product is called the "perp dot product."
Матричное представление
Ортогональная проекция может быть представлена матрицей проекции. Чтобы спроецировать вектор на единичный вектор **a** = (ax, ay, az), его необходимо умножить на эту матрицу проекции.
Применение
Векторная проекция — важная операция при ортонормализации по Граму — Шмидту базисов векторного пространства. Она также используется в теореме о разделяющей оси для определения, пересекаются ли два выпуклых объекта.
Обобщения
Поскольку понятия длины вектора и угла между векторами могут быть обобщены на любое n-мерное пространство с внутренним произведением, это справедливо и для понятий ортогональной проекции вектора, проекции вектора на другой вектор и отклонения вектора от другого вектора. В некоторых случаях внутреннее произведение совпадает с скалярным произведением. Если же они не совпадают, то в формальных определениях проекции и отклонения используется внутреннее произведение вместо скалярного. Для трехмерного пространства с внутренним произведением понятия проекции вектора на другой вектор и отклонения вектора от другого вектора могут быть обобщены до понятий проекции вектора на плоскость и отклонения вектора от плоскости. Проекция вектора на плоскость является его ортогональной проекцией на эту плоскость. Отклонение вектора от плоскости является его ортогональной проекцией на прямую, ортогональную этой плоскости. Оба являются векторами. Первый параллелен плоскости, второй – ортогонален ей. Для заданного вектора и плоскости сумма проекции и отклонения равна исходному вектору. Аналогично, для пространств с внутренним произведением размерности более трех, понятия проекции на вектор и отклонения от вектора могут быть обобщены до понятий проекции на гиперплоскость и отклонения от гиперплоскости. В геометрической алгебре они могут быть далее обобщены до понятий проекции и отклонения общего мультивектора на/от любого обратимого k-лезвия.