Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада, әсіресе алгебралық геометрияда, Гротендик–Риман–Рох теоремасы – когерентті когомология бойынша маңызды нәтиже. Бұл күрделі көптүрліліктер туралы Хирцебрух–Риман–Рох теоремасының жалпылауы болып табылады, ал ол өзі ықшам Риман беттеріндегі сызықтық бундельдер үшін классикалық Риман–Рох теоремасының жалпылауы. Риман–Рох типтегі теоремалар векторлық буып-түйіннің когомологиясының Эйлер сипаттамаларын олардың топологиялық дәрежелерімен немесе, жалпы алғанда, (ко)гомологиядағы немесе алгебралық аналогтардағы сипаттамалық кластарымен байланыстырады. Классикалық Риман–Рох теоремасы қисықтар мен сызықтық бундельдер үшін осылай жұмыс істейді, ал Хирцебрух–Риман–Рох теоремасы бұл принципті көптүрліліктердегі векторлық бундельдерге кеңейтеді. Гротендик–Риман–Рох теоремасы екі теореманы да екі көптүрлілік (немесе жалпы схемалар) арасындағы морфизмнің салыстырмалы жағдайына қояды және теореманы жеке бундель туралы мәлімдемеден, шоғырлардың тізбекті кешендеріне қатысты мәлімдемеге өзгертеді. Теорема өте ықпалды болды, әсіресе Атия–Сингер индексі теоремасының дамуына үлкен үлес қосты. Керісінше, Гротендик–Риман–Рох теоремасының күрделі аналитикалық аналогтарын отбасылар үшін индекс теоремасын қолдану арқылы дәлелдеуге болады. Александр Гротендик алғашқы дәлелді 1957 жылғы қолжазбасында келтірді, ол кейін жарияланды. Арман Борель мен Жан-Пьер Серр 1958 жылы Гротендиктің дәлелін жазып, жариялады. Кейін Гротендик пен оның әріптестері дәлелді қарапайымдап, жалпылады.
In mathematics, specifically in algebraic geometry, the Grothendieck–Riemann–Roch theorem is a far reaching result on coherent cohomology. It is a generalisation of the Hirzebruch–Riemann–Roch theorem, about complex manifolds, which is itself a generalisation of the classical Riemann–Roch theorem for line bundles on compact Riemann surfaces. Riemann–Roch type theorems relate Euler characteristics of the cohomology of a vector bundle with their topological degrees, or more generally their characteristic classes in (co)homology or algebraic analogues thereof. The classical Riemann–Roch theorem does this for curves and line bundles, whereas the Hirzebruch–Riemann–Roch theorem generalises this to vector bundles over manifolds. The Grothendieck–Riemann–Roch theorem sets both theorems in a relative situation of a morphism between two manifolds (or more general schemes) and changes the theorem from a statement about a single bundle, to one applying to chain complexes of sheaves. The theorem has been very influential, not least for the development of the Atiyah–Singer index theorem. Conversely, complex analytic analogues of the Grothendieck–Riemann–Roch theorem can be proved using the index theorem for families. Alexander Grothendieck gave a first proof in a 1957 manuscript, later published. Armand Borel and Jean Pierre Serre wrote up and published Grothendieck's proof in 1958. Later, Grothendieck and his collaborators simplified and generalized the proof.
Жалпылау және мамандандыру
Теореманың жалпыламалары комбинацияның тиісті жалпыламасын қарастыра отырып, тегіс емес жағдайға, ал компактты қолдаумен кохомологияны қарастыра отырып, дұрыс емес жағдайға қолданылуы мүмкін. Арифметикалық Риманн-Рох теоремасы Гротендик-Риманн-Рох теоремасын арифметикалық схемаларға дейін кеңейтеді. Hirzebruch-Риманн-Рох теоремасы (негізінен) Y нүктесі және өріс кешенді сандар өрісі болатын ерекше жағдай. Иван Панин мен Александр Смирнов бағдарланған кохомология теориялары үшін Риманн-Рох теоремасының бір нұсқасын дәлелдеді. Ол алгебралық бағытталған кохомология теориялары арасындағы көбейту операцияларымен (мысалы, алгебралық кобордизм) байланысты. Гротендик Риман-Рох осы нәтиженің ерекше жағдайы болып табылады, ал Черн сипаттамасы осы контексте табиғи түрде пайда болады.
Generalisations of the theorem can be made to the non smooth case by considering an appropriate generalisation of the combination and to the non proper case by considering cohomology with compact support. The arithmetic Riemann–Roch theorem extends the Grothendieck–Riemann–Roch theorem to arithmetic schemes. The Hirzebruch–Riemann–Roch theorem is (essentially) the special case where Y is a point and the field is the field of complex numbers. A version of Riemann–Roch theorem for oriented cohomology theories was proven by Ivan Panin and Alexander Smirnov. It is concerned with multiplicative operations between algebraic oriented cohomology theories (such as algebraic cobordism). The Grothendieck Riemann Roch is a particular case of this result, and the Chern character comes up naturally in this setting.
Тегіс карталар
Гротендик-Риман-Рох формуласының бір артықшылығы – оны Хирзебрух-Риман-Рох формуласының салыстырмалы түрі ретінде қарастыруға болады. Мысалы, тегіс морфизмнің талшықтарының бәрі бірдей өлшемді болады (және негізді өзгерту арқылы топологиялық кеңістіктер ретінде изоморфты). Бұл факт модульдер теориясында, модульдер кеңістігі тегіс, дұрыс кеңістіктерді параметрлеген кезде пайдалы. Мысалы, Дэвид Мамфорд бұл формуланы алгебралық қисықтардың модульдер кеңістігіндегі Чоу сақинасының арақатынастарын шығару үшін қолданды.
One of the advantages of the Grothendieck–Riemann–Roch formula is it can be interpreted as a relative version of the Hirzebruch–Riemann–Roch formula. For example, a smooth morphism has fibers which are all equi dimensional (and isomorphic as topological spaces when base changing to ). This fact is useful in moduli theory when considering a moduli space parameterizing smooth proper spaces. For example, David Mumford used this formula to deduce relationships of the Chow ring on the moduli space of algebraic curves.
Тарих
Александр Гротендиктің Риманн-Рох теоремасының нұсқасы бастапқыда 1956-1957 жылдары Жан-Пьер Серреге жазған хаты арқылы жеткізілді. Ол 1957 жылы өткен алғашқы Бонн Arbeitstagung-та жарияланды. Кейін Серре мен Арманд Борель оны түсіну үшін Принстон университетінде семинар ұйымдастырды. Жарияланған соңғы мақала, іс жүзінде, Борель-Серр түсіндірмесі болды. Гротендиктің тәсілінің маңыздылығы бірнеше мәселеге байланысты. Біріншіден, Гротендик теореманың өзінің тұжырымын өзгертті: сол кезде теорема түр туралы теорема деп түсінілді, ал Гротендик оны түрлер арасындағы морфизм туралы теорема ретінде қарастырды. Дұрыс жалпыламаны тауып, дәлелдеме оңайырақ болды, ал қорытынды көбірек жалпыланды. Қысқасы, Гротендик күрделі талдау мәселесіне күшті категориялық тәсіл қолданды. Сонымен қатар, Гротендик жоғарыда айтылғандай, K-топтарын енгізді, бұл алгебралық K-теорияның дамуына жағдай жасады.
Alexander Grothendieck's version of the Riemann–Roch theorem was originally conveyed in a letter to Jean Pierre Serre around 1956–1957. It was made public at the initial Bonn Arbeitstagung, in 1957. Serre and Armand Borel subsequently organized a seminar at Princeton University to understand it. The final published paper was in effect the Borel–Serre exposition. The significance of Grothendieck's approach rests on several points. First, Grothendieck changed the statement itself: the theorem was, at the time, understood to be a theorem about a variety, whereas Grothendieck saw it as a theorem about a morphism between varieties. By finding the right generalization, the proof became simpler while the conclusion became more general. In short, Grothendieck applied a strong categorical approach to a hard piece of analysis. Moreover, Grothendieck introduced K groups, as discussed above, which paved the way for algebraic K theory.