Введение

В математике, в частности в алгебраической геометрии, теорема Гротендика — Римана — Роха является глубоким результатом о когерентной когомологии. Она является обобщением теоремы Хирцебруха — Римана — Роха о комплексных многообразиях, которая, в свою очередь, является обобщением классической теоремы Римана — Роха для линейных расслоений на компактных римановых поверхностях. Теоремы типа Римана — Роха связывают эйлеровы характеристики когомологии векторного расслоения с их топологическими степенями, или, в более общем случае, с их характеристическими классами в (ко)гомологии или алгебраическими аналогами. Классическая теорема Римана — Роха делает это для кривых и линейных расслоений, тогда как теорема Хирцебруха — Римана — Роха обобщает это на векторные расслоения над многообразиями. Теорема Гротендика — Римана — Роха помещает обе теоремы в относительный контекст морфизма между двумя многообразиями (или более общими схемами) и изменяет формулировку теоремы с утверждения об одном расслоении на утверждение, применимое к цепным комплексам пучков. Теорема оказала огромное влияние, в частности, на развитие теоремы об индексе Атия — Сингера. Обратно, комплексные аналитические аналоги теоремы Гротендика — Римана — Роха могут быть доказаны с использованием теоремы об индексе для семейств. Александр Гротендик представил первое доказательство в рукописи 1957 года, которая была опубликована позднее. Арман Борель и Жан-Пьер Серр записали и опубликовали доказательство Гротендика в 1958 году. Впоследствии Гротендик и его коллеги упростили и обобщили это доказательство.

Обобщение и специализация

Обобщения теоремы могут быть получены для негладких случаев, рассматривая соответствующее обобщение комбинации, и для некомпактных случаев, рассматривая когомологии с компактным носителем. Арифметическая теорема Римана — Роха расширяет теорему Гротендика — Римана — Роха на арифметические схемы. Теорема Хирцебруха — Римана — Роха является (по существу) частным случаем, когда Y — точка, а поле — поле комплексных чисел. Версия теоремы Римана — Роха для ориентированных когомологических теорий была доказана Иваном Паниным и Александром Смирновым. Она связана с мультипликативными операциями между алгебраически ориентированными когомологическими теориями (такими как алгебраический кобордизм). Теорема Гротендика — Римана — Роха является частным случаем этого результата, и характер Черна возникает естественным образом в этом контексте.

Гладкие карты

Одним из преимуществ формулы Гротендика — Римана — Роха является то, что её можно интерпретировать как относительную версию формулы Хирцебруха — Римана — Роха. Например, у гладкого морфизма волокна имеют одинаковую размерность (и изморфны как топологические пространства при изменении основания на ). Этот факт полезен в теории модулей при рассмотрении модульного пространства, параметризующего гладкие собственные пространства. Например, Дэвид Мамфорд использовал эту формулу для установления соотношений в кольце Чоу на модульном пространстве алгебраических кривых.

История

Версия теоремы Римана-Роха, предложенная Александром Гротендиком, была впервые изложена в письме Жан-Пьеру Серру примерно в 1956–1957 годах. Она была опубликована на первом Боннском Arbeitstagung в 1957 году. Впоследствии Серр и Арман Борель организовали семинар в Принстонском университете для её изучения. Опубликованная статья фактически представляла собой изложение Бореля и Серра. Значимость подхода Гротендика обусловлена несколькими факторами. Во-первых, Гротендик изменил саму формулировку теоремы: в то время её понимали как теорему об алгебраическом многообразии, тогда как Гротендик рассматривал её как теорему о морфизме между многообразиями. Найдя подходящее обобщение, он упростил доказательство и одновременно расширил область его применимости. Вкратце, Гротендик применил мощный категорный подход к сложной задаче анализа. Кроме того, Гротендик ввёл K-группы, как было описано выше, что заложило основу для алгебраической K-теории.