Кіріспе
Ли тобының бейнелеу теориясындағы әдіс. Математикада унитарлық тәсіл (немесе унитарлық амал) – Ли тобының бейнелеу теориясындағы әдіс, оны арнайы сызықтық топ үшін алғаш рет енгізіп, Герман Вейль жалпы жартылай жай топтар үшін дамытты. Ол кейбір күрделі Ли тобы G-нің бейнелеу теориясының, кейбір компактты нақты Ли тобы K-нің бейнелеу теориясымен сапалық тұрғыдан бақыланатынын көрсетуге қолданылады, ал соңғы бейнелеу теориясы оңайырақ. Маңызды мысал – G күрделі жалпы сызықтық топ GLn(C) болса, ал K бірдей өлшемді векторларға әсер ететін U(n) унитарлық тобы. K-ның бейнелеулері толық түрде кеми алатындықтан, G-нің күрделі аналитикалық бейнелеулері үшін де сондай қорытынды жасалады, кемінде шекті өлшемдерде. Бұл байланысты қамтамасыз ететін G және K арасындағы қатынас, дәстүрлі түрде K-ның Ли алгебрасы G-нің нақты формасы ретінде сипатталады. Алгебралық топтар теориясында бұл қатынасты K-ның G-нің тығыз ішкі жиыны екендігі арқылы да көрсетуге болады. Бұл тәсіл G-нің редуктивті Ли топтары үшін жарамды, оның маңызды жағдайы – жартылай жай Ли топтары.
In mathematics, the unitarian trick (or unitary trick) is a device in the representation theory of Lie groups, introduced by for the special linear group and by Hermann Weyl for general semisimple groups. It applies to show that the representation theory of some complex Lie group G is in a qualitative way controlled by that of some compact real Lie group K, and the latter representation theory is easier. An important example is that in which G is the complex general linear group GLn(C), and K the unitary group U(n) acting on vectors of the same size. From the fact that the representations of K are completely reducible, the same is concluded for the complex analytic representations of G, at least in finite dimensions. The relationship between G and K that drives this connection is traditionally expressed in the terms that the Lie algebra of K is a real form of that of G. In the theory of algebraic groups, the relationship can also be put that K is a dense subset of G, for the Zariski topology. The trick works for reductive Lie groups G, of which an important case are semisimple Lie groups.
Тарих
Адольф Хурвиц компактты Лай тобында интегралдау арқылы унитарлық топтар мен компактты ортогоналды топтар жағдайында инварианттарды қалай құруға болатынын көрсеткен. Иссаи Шур 1924 жылы инвариантты ішкі көбейтуді құру арқылы мұндай топтар үшін өкілдіктердің толық кемитуін көрсету үшін осы әдісті қолдануға болатынын көрсетті. Вейл Шур әдісін күрделі жартылай жай Лай алгебраларына кеңейтіп, олардың компактты нақты формасы бар екенін дәлелдеді.
Вейл теоремасы
Шектелген өлшемді сызықтық бейнелеулердің ықшам топтардың, немесе байланысты жартылай қарапайым Ли топтары мен кешенді жартылай қарапайым Ли алгебраларының толық азайтылуы кейде Вейл теоремасы деп аталады. Бұлмен байланысты, ықшам жартылай қарапайым Ли тобының әмбебап жабыны да ықшам болады, бұл да солай аталады. Вейл бұл теореманы "әмбебап жабын" формалды түрде анықтағанға дейін бірнеше жыл бұрын дәлелдеген.