Введение
В теории представлений групп Ли унитарный трюк (или унитарный прием) — это метод, используемый в теории представлений групп Ли, впервые введенный для специальной линейной группы и Германном Вейлем для общих полупростых групп. Он позволяет показать, что теория представлений некоторой комплексной группы Ли G качественно определяется теорией представлений некоторой компактной вещественной группы Ли K, при этом последняя теория представлений проще. Важным примером является случай, когда G — комплексная общая линейная группа GLn(C), а K — унитарная группа U(n), действующая на векторы одинакового размера. Из того факта, что представления K полностью приводимы, следует то же самое для комплексно-аналитических представлений G, по крайней мере, в конечномерном случае. Связь между G и K, лежащая в основе этого соотношения, традиционно выражается в терминах того, что алгебра Ли K является вещественной формой алгебры Ли G. В теории алгебраических групп эту связь также можно выразить тем, что K является плотным подмножеством G относительно топологии Зариски. Этот прием работает для редуктивных групп Ли G, важным частным случаем которых являются полупростые группы Ли.
In mathematics, the unitarian trick (or unitary trick) is a device in the representation theory of Lie groups, introduced by for the special linear group and by Hermann Weyl for general semisimple groups. It applies to show that the representation theory of some complex Lie group G is in a qualitative way controlled by that of some compact real Lie group K, and the latter representation theory is easier. An important example is that in which G is the complex general linear group GLn(C), and K the unitary group U(n) acting on vectors of the same size. From the fact that the representations of K are completely reducible, the same is concluded for the complex analytic representations of G, at least in finite dimensions. The relationship between G and K that drives this connection is traditionally expressed in the terms that the Lie algebra of K is a real form of that of G. In the theory of algebraic groups, the relationship can also be put that K is a dense subset of G, for the Zariski topology. The trick works for reductive Lie groups G, of which an important case are semisimple Lie groups.
История
Адольф Хурвиц показал, как интегрирование по компактной группе Ли может быть использовано для построения инвариантов в случаях унитарных и компактных ортогональных групп. Иссай Шур в 1924 году показал, что этот метод можно применить для доказательства полной приводимости представлений для таких групп посредством построения инвариантного скалярного произведения. Вейль расширил метод Шура на комплексные полупростые алгебры Ли, показав, что у них существует компактная вещественная форма.
Теорема Вейла
Полная приводимость конечномерных линейных представлений компактных групп или связных полупростых групп Ли и комплексных полупростых алгебр Ли иногда называется теоремой Вейля. С этим связанный результат, заключающийся в том, что универсальное накрытие компактной полупростой группы Ли также является компактным, также известен под тем же названием. Это было доказано Вейлем за несколько лет до того, как понятие "универсальное накрытие" получило формальное определение.