Кіріспе
Картадағы қашықтық пен жер бетіндегі сәйкес қашықтық арақатынасы
Картаның масштабы – картадағы қашықтық пен жер бетіндегі сәйкес қашықтық арақатынасы. Бұл қарапайым ұғым Жер бетінің қисықтығымен күрделенеді, бұл картада масштабтың өзгеруіне әкеледі. Осы өзгеріске байланысты масштаб ұғымы екі ерекше жолмен түсіндіріледі. Біріншісі – жасалған шардың (глобустың) мөлшері мен Жердің мөлшері арақатынасы. Жасалған шар – Жердің кішірейтілген және картаның проекциясы жасалған тұжырымдық моделі. Жердің мөлшері мен жасалған шардың мөлшері арақатынасы номиналды масштаб деп аталады (оған негізгі масштаб немесе пропорционалды бөлшек делінеді). Көптеген карталар номиналды масштабты көрсетеді және оны көрсету үшін тіпті масштаб сызығын (кейде жай ғана "масштаб" деп аталады) пайдаланады. Масштабтың екінші ерекше түсінігі картадағы масштабтың өзгеруіне қатысты. Бұл картаға түсірілген нүктенің масштабының номиналды масштабқа қатынасы. Бұл жағдайда "масштаб" дегеніміз – масштаб коэффициенті (осыны нүктелік масштаб немесе нақты масштаб деп те атайды). Егер картаның аймағы, мысалы, қала жоспарындағыдай, Жердің қисықтығын елемеуге болатынша кішкентай болса, онда өлшем қателіктерін тудырмай, бір мәнді масштаб ретінде қолдануға болады. Үлкен аумақтарды немесе бүкіл Жерді қамтитын карталарда картаның масштабы қашықтықты өлшеуде аз пайдалы немесе тіпті пайдасыз болуы мүмкін. Карта проекциясы картада масштабтың қалай өзгеретінін түсіну үшін маңызды. Масштаб айтарлықтай өзгерген кезде, оны масштаб коэффициенті ретінде ескеруге болады. Тиссоның индикатрисі картадағы нүктелік масштабтың өзгеруін көрсету үшін жиі қолданылады.
Тарих
Картаның сандық масштабтауының негізі ежелгі Қытайға дейін жетеді, б.з.д. II ғасырда карта масштабтауы туралы түсінік болғандығына мәтіндік дәлелдер бар. Ежелгі қытайлық геодезистер мен картографтардың карталар жасау үшін қолданатын техникалық құралдары жеткілікті болды, мысалы, санау таяқшалары, ағаш ұстасының бұрыштары, құбыр сызықтары, шеңберлер салуға арналған компастар және еңісті өлшеуге арналған көзқарастар. Астрономдар, аспанды түрлі секторларға немесе ай ложаларына бөлген арқылы, орналасу орындарын анықтау үшін жаңадан пайда болатын координаттар жүйесін болжайтын анықтамалық жүйелерді ұсынды. Үш патшалық дәуіріндегі қытай картографы және географы Пей Сиу масштабталған үлкен аумақты карталар жиынтығын жасады. Ол картаға түсірілетін жердің масштабталуының, бағыт өлшемдерінің және жер өлшемдерін түзетудің маңыздылығын қатаң атап көрсеткен принциптер жиынтығын жасады. Осылайша, Нью-Йорк қаласының бір метрге дейін дәл жоспары немесе бір миллиметрге дейін дәл құрылыс алаңы жоспары да қисықтықты ескермеу шарттарын қанағаттандырады. Оларды жазық геодезия арқылы өңдеуге және сызбадағы екі нүктенің арақашықтығы жер бетіндегі арақашықтыққа сәйкес келетін масштабты сызбалар арқылы картаға түсіруге болады. Шын жер арақашықтығы картадағы арақашықтықты өлшеу арқылы және содан кейін масштабтың кері шамасын көбейту арқылы немесе, балама ретінде, картадағы нүктелер арасындағы аралықты картадағы масштаб сызығына ауыстыру үшін циркульдерді пайдалану арқылы есептеледі.
Нүктелік шкала (немесе белгілі бір шкала)
Гаусс теоремасы Эгрегиум дәлелдегендей, шарды (немесе эллипсоидты) бұрмаланбастан жазықтыққа проекциялау мүмкін емес. Бұл көбінесе апельсин қабығын жыртып, деформацияламай тегіс бетке жаюдың мүмкін еместігімен түсіндіріледі. Тұрақты масштабтағы шардың нақты бейнесі – жер шары сияқты басқа шар ғана. Глобустардың практикалық өлшемдері шектеулі болғандықтан, егжей-тегжейлі карта жасау үшін карталарды қолдану қажет. Карталар проекцияларды талап етеді. Проекция бұрмалауға әкеледі: картадағы тұрақты арақашықтық жер бетіндегі тұрақты арақашықтыққа сәйкес келмейді. Картада графикалық масштаб сызығы көрсетілуі мүмкін, бірақ оны картаның кейбір бөліктерінде ғана дәл болатынын ескере отырып қолдану керек. (Бұл туралы келесі бөлімдердегі мысалдарда толығырақ айтылады.) P сфераның (немесе эллипсоидтың) ені мен бойындағы нүкте болсын. Q – оған жақын нүкте болсын, ал PQ элементі мен P нүктесіндегі меридиан арасындағы бұрыш болсын: бұл бұрыш PQ элементінің азимут бұрышы деп аталады. P' және Q' проекциядағы сәйкес нүктелер болсын. P'Q' бағыты мен меридиан проекциясы арасындағы бұрыш – бағыт. Жалпы айтқанда, азимут (жер бетінде) мен бағыт (картада) арасындағы бұл нақты айырмашылық әрқашан сақталмайды, көптеген авторлар осы терминдерді шамамен бір-бірін алмастырып қолданады. Анықтама: P нүктесіндегі масштаб – P'Q' және PQ арақашықтықтарының қатынасы, Q нүктесі P нүктесіне жақындағандағы шегі. Бұл мынадай түрде жазылады:
мұндағы белгілеу нүктелік масштабтың P нүктесінің орналасуының және PQ элементінің бағытының функциясы екенін көрсетеді. Анықтама: егер P және Q бір меридианда жатса, меридиан масштабы ; егер P және Q бір параллельде жатса, параллель масштабы деп белгіленеді. Анықтама: егер нүктелік масштаб тек орналасуға ғана, бағытқа емес, байланысты болса, онда ол изотропты деп аталады және кез келген бағыттағы мәні параллель масштаб коэффициентімен белгіленеді. Анықтама: Егер P нүктесінде қиылысатын екі түзу арасындағы бұрыш, проекцияланған P' нүктесіндегі проекцияланған түзулер арасындағы бұрышқа тең болса, онда карта проекциясы конформды деп аталады. Конформды картада изотропты масштаб факторы болады. Керісінше, картадағы изотропты масштаб факторлары конформды проекцияны білдіреді. Масштабтың изотропиясы кіші элементтердің барлық бағытта бірдей созылатынын, яғни кіші элементтің пішіні сақталады дегенді білдіреді. Бұл ортоморфизм қасиеті (грекше «дұрыс пішін»). «Кіші» деген анықтама өлшемнің белгілі бір дәлдігінде элементтің масштаб коэффициентінде ешқандай өзгеріс байқалмайды дегенді білдіреді. Конформды проекциялардың изотропты масштаб факторы болғандықтан, оларды ортоморфты проекциялар деп те атайды. Мысалы, Меркатор проекциясы конформды, өйткені ол бұрыштарды сақтау үшін құрылған және оның масштаб факторы тек ендікке байланысты изотропты болып табылады: Меркатор кіші аймақтарда пішінді сақтайды. Анықтама: изотропты масштабтағы конформды проекцияда, бірдей масштаб мәніне ие нүктелерді изоскалалық сызықтар арқылы қосуға болады. Бұл сызықтар соңғы пайдаланушыларға арналған карталарда көрсетілмейді, бірақ олар көптеген стандартты мәтіндерде кездеседі. (Снайдерге қараңыз).
Definition: if P and Q lie on the same parallel , the parallel scale is denoted by
Definition: if the point scale depends only on position, not on direction, we say that it is isotropic and conventionally denote its value in any direction by the parallel scale factor
Definition: A map projection is said to be conformal if the angle between a pair of lines intersecting at a point P is the same as the angle between the projected lines at the projected point P', for all pairs of lines intersecting at point P. A conformal map has an isotropic scale factor. Conversely isotropic scale factors across the map imply a conformal projection. Isotropy of scale implies that small elements are stretched equally in all directions, that is the shape of a small element is preserved. This is the property of orthomorphism (from Greek 'right shape'). The qualification 'small' means that at some given accuracy of measurement no change can be detected in the scale factor over the element. Since conformal projections have an isotropic scale factor they have also been called orthomorphic projections. For example, the Mercator projection is conformal since it is constructed to preserve angles and its scale factor is isotropic, a function of latitude only: Mercator does preserve shape in small regions. Definition: on a conformal projection with an isotropic scale, points which have the same scale value may be joined to form the isoscale lines. These are not plotted on maps for end users but they feature in many of the standard texts. (See Snyder).
Масштаб факторларының графигі
Графикте жоғарыда келтірілген үш мысалдың масштаб коэффициенттерінің өзгеруі көрсетілген. Жоғарғы сызбада изотроптық Меркатор масштаб функциясы көрсетілген: параллельдегі масштаб меридиандағы масштабқа тең. Қалған сызбаларда эквиректиангулярлық проекция (h=1) және Ламберт тең ауданы проекциясы үшін меридиан масштаб коэффициенттері көрсетілген. Осы соңғы екі проекцияның параллель масштабы Меркатор сызбасының масштабымен сәйкес келеді. Ламберт проекциясында параллель масштаб (Меркатор А сияқты) ендікпен бірге өседі, ал меридиан масштабы (С) ендікпен бірге кемиді, осылайша hk=1 теңдігі сақталады, бұл аумақтың сақталуын қамтамасыз етеді.
Меркатор проекциясындағы масштабтың өзгеруі
Меркатор нүктелік шкаласы экваторда бірттікке тең, себебі оның құрылысында қолданылатын көмекші цилиндр экватордағы Жерге жанама (тангент) түседі. Осы себепті, әдеттегі проекцияны жанама проекция деп атау керек. Шкала ендікке байланысты өзгереді, себебі полюстерге жақындағанда шексіздікке ұмтылады, сондықтан Меркатор картасы жоғары ендіктерде айқын бұрмалануға ұшырайды және осы себепті проекция әлемдік карталар үшін тиімсіз (навигация және румб сызықтарын қарастырмасақ). Дегенмен, шамамен 25 градус ендікте a-ның мәні шамамен 1,1-ге тең, сондықтан Меркатор экваторға ортақталған 50 градус ені бар жолақта 10%-ға дейін дәлдікпен бейнеленеді. Тар жолақтар жақсырақ: экваторға ортақталған 16 градус ені бар жолақ 1% немесе 100-ден 1 бөлік дәлдікпен бейнеленеді. Ірі масштабты карталар үшін стандартты критерий – дәлдік 10 000 бөліктің 4 бөлігіне тең болуы керек, яғни 0,04%, себебі бұл мәнге градустармен өлшенегенде жетеді (төмендегі суретті қараңыз, қызыл сызық). Сондықтан, жанама Меркатор проекциясы экваторға ортақталған 3,24 градус ені бар жолақта өте дәл. Бұл шамамен солтүстік-оңтүстік бағыттағы қашықтыққа сәйкес келеді. Осы жолақта Меркатор өте жақсы, жоғары дәлдікке ие және пішін сақтайды, себебі бұл конформды (бұрыштарды сақтаушы) проекция. Осы байқаулар көлденең Меркатор проекцияларын жасауға түрткі болды, онда меридиан проекцияның «экваторы» сияқты қарастырылады, соның нәтижесінде сол меридианға жақын тар аймақта дәл карта алынады. Мұндай карталар солтүстік-оңтүстік бағытта бойымен созылған елдер үшін (мысалы, Ұлыбритания) қолайлы, ал осындай 60 картадан тұратын жиынтық Универсалды көлденең Меркатор (UTM) үшін қолданылады. Ескеріңіз, бұл екі проекцияда да (әртүрлі эллипсоидтарға негізделген) x және y координаталарына арналған трансформация теңдеулері және масштаб коэффициентінің өрнегі ендік және бойлықтың күрделі функциялары болып табылады.
Қатынас белгісі
Ішектің нүктесі жиі қатынастарды көрсету үшін қолданылады, бірақ Юникод қатынастарға арналған ерекше символдарды, сәл көтеріңкі жазылған түрінде де көрсете алады: .